O Teorema de Ehrenfest nos diz que a dinâmica dos valores esperados da posição e do momento segue aproximadamente as leis clássicas, ou seja,
Demonstre o teorema de Ehrenfest.
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre o Teorema de Ehrenfest, isto é, mostre que os valores esperados de posição e momento evoluem segundo leis análogas às clássicas.\n
Informações dadas (que vou usar explicitamente):\n
Informações dadas (que vou usar explicitamente):\n
- A função de onda do sistema é
, normalizada.\n - O valor esperado de um operador
é definido por .\n - A equação de Schrödinger dependente do tempo é
, onde é o Hamiltoniano.\n - Vou assumir o Hamiltoniano usual para partícula num potencial unidimensional:
, com e operador multiplicativo (é a função atuando sobre ).\n
Perguntas que vou responder:\n - Mostrar que
.\n - Mostrar que
, onde .\n - Mostrar a forma combinada
e comentar quando isso reproduz a mecânica clássica.
Passo 2
Definições e explicações importantes (mini-aula):\n
- A função de onda
contém toda a informação do sistema. é o complexo conjugado.\n - Operador Hermitiano: um operador
é Hermitiano se para funções adequadas; observáveis correspondem a operadores Hermitianos. Tanto quanto e são Hermitianos.\n - Valor esperado:
. É a média estatística no estado .\n - A derivada temporal de um valor esperado envolve derivar
e . Usarei a equação de Schrödinger para substituir e a conjugada para .\n - Operador momento na representação de posição:
. Ele age sobre funções multiplicando por e diferenciando em .\n - Integração por partes:
. Aqui usaremos que tende a zero quando (assim os termos de fronteira desaparecem).
Passo 3
Derivada temporal de
: começão da conta.\n
Escrevo a definição e derivo em relação ao tempo:
Escrevo a definição e derivo em relação ao tempo:
Como
não depende de
, passo a derivada para
e
:
Passo 4
Substituo as derivadas temporais usando a equação de Schrödinger e sua conjugada.\n
A equação de Schrödinger é . Tomando conjugado:
A equação de Schrödinger é
ou seja
Agora insiro isso em
:
Passo 5
Reescrevo a diferença como um comutador e uso forma do Hamiltoniano.\n
As duas integrais podem ser combinadas:
As duas integrais podem ser combinadas:
onde o comutador
. Agora uso
. Note que
porque
é função de
. Logo
Passo 6
Calculo do comutador
usando identidades de operadores.\n
Usando e a identidade
, e conhecendo o comutador canônico
, obtemos
Usando
Portanto
Passo 7
Inserindo o resultado na expressão de
.\n
Substituindo em
, temos
Substituindo
Isso demonstra a primeira parte desejada:
Explicação intuitiva: a média da velocidade é a média do momento dividido pela massa — igualzinho ao caso clássico.
Passo 8
Derivada temporal de
: fórmula geral e aplicação.\n
Procedo de modo análogo. A derivada temporal é
Procedo de modo análogo. A derivada temporal é
Substituo
e
pelas expressões da Schrödinger e sua conjugada, e combino os termos formando o comutador:
pois
não depende explicitamente do tempo (logo
).
Passo 9
Avalio o comutador
.\n
Com , o termo com
comuta com
, então
Com
Agora calculo a ação de
sobre uma função arbitrária
. Lembrando
e
age multiplicando por
,
Expandindo a derivada:
Portanto, como operador,
Passo 10
Concluir para
.\n
Substituindo em obtemos
Substituindo em
Assim demonstramos a segunda parte:
Passo 11
Combinação final e comentário físico.\n
Usando e derivando novamente, ou substituindo
, obtemos
Usando
Esta é a forma do Teorema de Ehrenfest: a média de
satisfaz uma equação análoga a
da mecânica clássica, mas com a força substituída pela média da força quântica.\n
Comentário importante: quando a distribuição em estiver bem concentrada ou quando
for no máximo quadrática (por exemplo, oscilador harmônico),
e a evolução de
segue exatamente a trajetória clássica. Para potenciais não-lineares mais complicados, o resultado é apenas aproximado porque a média de
não é, em geral, igual a
da média.
Comentário importante: quando a distribuição em