O Teorema de Ehrenfest nos diz que a dinâmica dos valores esperados da posição e do momento segue aproximadamente as leis clássicas, ou seja,
\langle p\rangle=m \frac{d\langle x\rangle}{d t}
Demonstre o teorema de Ehrenfest.

Passo 1

O enunciado pede que eu demonstre o Teorema de Ehrenfest, isto é, mostre que os valores esperados de posição e momento evoluem segundo leis análogas às clássicas.\n
Informações dadas (que vou usar explicitamente):\n
  • A função de onda do sistema é \psi(x,t), normalizada.\n
  • O valor esperado de um operador \hat A é definido por \displaystyle \langle \hat A\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,t)\,\hat A\,\psi(x,t)\,dx.\n
  • A equação de Schrödinger dependente do tempo é \displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\hat H\psi(x,t), onde \hat H é o Hamiltoniano.\n
  • Vou assumir o Hamiltoniano usual para partícula num potencial unidimensional: \displaystyle \hat H=\frac{\hat p^{2}}{2m}+V(\hat x), com \displaystyle \hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x} e V(\hat x) operador multiplicativo (é a função V(x) atuando sobre \psi).\n
    Perguntas que vou responder:\n
  • Mostrar que \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{\langle \hat p\rangle}{m}.\n
  • Mostrar que \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle=-\langle V'(\hat x)\rangle, onde V'(x)=\frac{dV}{dx}.\n
  • Mostrar a forma combinada \displaystyle m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\langle \hat x\rangle=-\langle V'(\hat x)\rangle e comentar quando isso reproduz a mecânica clássica.

Passo 2

Definições e explicações importantes (mini-aula):\n
  • A função de onda \psi(x,t) contém toda a informação do sistema. \psi^*(x,t) é o complexo conjugado.\n
  • Operador Hermitiano: um operador \hat A é Hermitiano se \langle \varphi|\hat A\psi\rangle=\langle \hat A\varphi|\psi\rangle para funções adequadas; observáveis correspondem a operadores Hermitianos. Tanto \hat x quanto \hat p e \hat H são Hermitianos.\n
  • Valor esperado: \langle \hat A\rangle=\int \psi^* \hat A \psi\,dx. É a média estatística no estado \psi.\n
  • A derivada temporal de um valor esperado envolve derivar \psi e \psi^*. Usarei a equação de Schrödinger para substituir \partial_t\psi e a conjugada para \partial_t\psi^*.\n
  • Operador momento na representação de posição: \displaystyle \hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}. Ele age sobre funções multiplicando por -i\hbar e diferenciando em x.\n
  • Integração por partes: \displaystyle \int u' v = [uv]-\int u v'. Aqui usaremos que \psi(x,t) tende a zero quando |x|\to\infty (assim os termos de fronteira desaparecem).

Passo 3

Derivada temporal de \langle \hat x\rangle: começão da conta.\n
Escrevo a definição e derivo em relação ao tempo:
\frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x,t)\,x\,\psi(x,t)\,dx.
Como x não depende de t, passo a derivada para \psi^* e \psi:
\frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\int \left(\frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right) x \psi\,dx + \int \psi^* x \left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right)\,dx.

Passo 4

Substituo as derivadas temporais usando a equação de Schrödinger e sua conjugada.\n
A equação de Schrödinger é \displaystyle i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}=\hat H\psi. Tomando conjugado:
-i\hbar\frac{\partial \psi^*}{\partial t}=\psi^* \hat H,
ou seja
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\hat H\psi,\qquad \frac{\partial \psi^*}{\partial t}=-\frac{1}{i\hbar}\psi^*\hat H.
Agora insiro isso em \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle:
\frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=-\frac{1}{i\hbar}\int \psi^*\hat H\,x\,\psi\,dx + \frac{1}{i\hbar}\int \psi^* x\,\hat H\psi\,dx.

Passo 5

Reescrevo a diferença como um comutador e uso forma do Hamiltoniano.\n
As duas integrais podem ser combinadas:
\frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{1}{i\hbar}\int \psi^*\big( x\hat H-\hat H x\big)\psi\,dx =\frac{1}{i\hbar}\langle [\hat x,\hat H]\rangle,
onde o comutador [\hat x,\hat H]=\hat x\hat H-\hat H\hat x. Agora uso \hat H=\frac{\hat p^{2}}{2m}+V(\hat x). Note que [\hat x, V(\hat x)]=0 porque V(\hat x) é função de \hat x. Logo
[\hat x,\hat H]=\left[\hat x,\frac{\hat p^{2}}{2m}\right].

Passo 6

Calculo do comutador [\hat x,\hat p^{2}] usando identidades de operadores.\n
Usando [\hat x,\hat p^{2}]=\hat x\hat p^{2}-\hat p^{2}\hat x e a identidade [\hat x,\hat p^{2}]=[\hat x,\hat p]\hat p+\hat p[\hat x,\hat p], e conhecendo o comutador canônico [\hat x,\hat p]=i\hbar, obtemos
[\hat x,\hat p^{2}]=i\hbar \hat p + \hat p i\hbar =2i\hbar \hat p.
Portanto
[\hat x,\hat H]=\frac{1}{2m}[\hat x,\hat p^{2}]=\frac{1}{2m}\cdot 2i\hbar \hat p = \frac{i\hbar}{m}\hat p.

Passo 7

Inserindo o resultado na expressão de \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle.\n
Substituindo [\hat x,\hat H]=\frac{i\hbar}{m}\hat p em \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle [\hat x,\hat H]\rangle, temos
\frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{1}{i\hbar}\left\langle \frac{i\hbar}{m}\hat p\right\rangle=\frac{1}{m}\langle \hat p\rangle.
Isso demonstra a primeira parte desejada:
\boxed{\displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{\langle \hat p\rangle}{m}.}
Explicação intuitiva: a média da velocidade é a média do momento dividido pela massa — igualzinho ao caso clássico.

Passo 8

Derivada temporal de \langle \hat p\rangle: fórmula geral e aplicação.\n
Procedo de modo análogo. A derivada temporal é
\frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle=\frac{d}{dt}\int \psi^*\,\hat p\,\psi\,dx =\int \left(\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\right)\hat p\psi\,dx + \int \psi^* \hat p\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)\,dx.
Substituo \partial_t\psi e \partial_t\psi^* pelas expressões da Schrödinger e sua conjugada, e combino os termos formando o comutador:
\frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle [\hat p,\hat H]\rangle,
pois \hat p não depende explicitamente do tempo (logo \langle \partial_t \hat p\rangle=0).

Passo 9

Avalio o comutador [\hat p,\hat H].\n
Com \hat H=\frac{\hat p^{2}}{2m}+V(\hat x), o termo com \hat p^{2} comuta com \hat p, então
[\hat p,\hat H]=[\hat p,V(\hat x)].
Agora calculo a ação de [\hat p,V(\hat x)] sobre uma função arbitrária f(x). Lembrando \hat p=-i\hbar\frac{d}{dx} e V(\hat x) age multiplicando por V(x),
\hat p\big(V f\big) - V\big(\hat p f\big) = -i\hbar\frac{d}{dx}\big(Vf\big) + i\hbar V\frac{d f}{dx}.
Expandindo a derivada:
-i\hbar\left(V'\,f + V\,f'\right) + i\hbar V f' = -i\hbar V'(x) f(x).
Portanto, como operador,
[\hat p,V(\hat x)]=-i\hbar V'(\hat x).

Passo 10

Concluir para \frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle.\n
Substituindo em \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle [\hat p,\hat H]\rangle obtemos
\frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle -i\hbar V'(\hat x)\rangle = -\langle V'(\hat x)\rangle.
Assim demonstramos a segunda parte:
\boxed{\displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle=-\langle V'(\hat x)\rangle.}

Passo 11

Combinação final e comentário físico.\n
Usando \displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{\langle \hat p\rangle}{m} e derivando novamente, ou substituindo \frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle, obtemos
m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\langle \hat x\rangle = \frac{d}{dt}\langle \hat p\rangle = -\langle V'(\hat x)\rangle.
Esta é a forma do Teorema de Ehrenfest: a média de x satisfaz uma equação análoga a m\ddot x = -V'(x) da mecânica clássica, mas com a força substituída pela média da força quântica.\n
Comentário importante: quando a distribuição em x estiver bem concentrada ou quando V(x) for no máximo quadrática (por exemplo, oscilador harmônico), \langle V'(\hat x)\rangle \approx V'(\langle \hat x\rangle) e a evolução de \langle \hat x\rangle segue exatamente a trajetória clássica. Para potenciais não-lineares mais complicados, o resultado é apenas aproximado porque a média de V' não é, em geral, igual a V' da média.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dt}\langle \hat x\rangle=\frac{\langle \hat p\rangle}{m}\n
\displaystyle m\frac{d^{2}}{dt^{2}}\langle \hat x\rangle=-\langle V'(\hat x)\rangle

Exercícios relacionados