Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de
para todo
. Em cada item, encontre uma expressão para a temperatura
se a distribuição de temperatura inicial na barra é a função dada. Suponha
na equação do claor.
Passo 1
Estamos lidando com a equação do calor unidimensional
em uma barra de comprimento
cm, sujeita a condições de contorno de Dirichlet homogêneas
e distribuição inicial em degrau
para
e
para
. Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em série de senos no espaço.
Passo 2
Assumindo
e separando as variáveis, chegamos à equação espacial
com
. Os autovalores são
e as autofunções espacias
.
Passo 3
A solução geral da PDE fica
Passo 4
onde os coeficientes
vêm da expansão de Fourier de
:
Passo 5
Como
em
e zero em
, temos
Calculando a integral:
Passo 6
logo
$$B_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr).
$$
Passo 7
Bastou então substituir esses
na forma geral para obter a solução completa.