Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0^circ C para todo t>0. Em cada item, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição de temperatura inicial na barra é a função dada. Suponha k=1 na equação do claor.
u(x, 0)= 1, & 0 <= x <= 20 0, & 20 <= x <= 40

Passo 1

Estamos lidando com a equação do calor unidimensional ut = uxx em uma barra de comprimento L = 40 cm, sujeita a condições de contorno de Dirichlet homogêneas u(0,t)=u(40,t)=0 e distribuição inicial em degrau u(x,0)=1 para 0<= x<=20 e 0 para 20. Vamos resolver por separação de variáveis e expansão em série de senos no espaço.

Passo 2

Assumindo u(x,t)=X(x)T(t) e separando as variáveis, chegamos à equação espacial X''+lambda X=0 com X(0)=X(40)=0. Os autovalores são lambdan=(npi/40)^2 e as autofunções espacias Xn(x)=sin(npi x/40).

Passo 3

A solução geral da PDE fica
u(x,t)=sumn=1^inftyBn,sinl(npi x40r),e^-l(npi40r)^2t,

Passo 4

onde os coeficientes Bn vêm da expansão de Fourier de f(x)=u(x,0):
Bn=2Lintegral0^Lf(x)sinl(npi xLr),dx

Passo 5

Como f(x)=1 em [0,20] e zero em [20,40], temos
Bn=240integral0^201cdotsinl(npi x40r)dx
Calculando a integral:
integral0^20sinl(npi x40r)dx=40npil(1-cos(npi/2)r),

Passo 6

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$$B_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr).
$$

Passo 7

Bastou então substituir esses Bn na forma geral para obter a solução completa.

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty2l(1-cos(tfracnpi2)r)npi,sinl(tfracnpi x40r),e^-l(tfracnpi40r)^2t

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