Resolva a equação da onda ut t=a^2 ux x sujeita às condições de contorno e iniciais dadas.
lut=a^2 ux x, 00 ; u(0, t)=0, u(L, t)=0, t>0 ; u(x, 0)=14 x(L-x), ut(x, 0)=0,0 <= x <= L,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda utt=a^2uxx em 00, com contorno homogêneo u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=tfrac14x(L-x), ut(x,0)=0. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução.

Passo 2

Supondo u(x,t)=X(x)T(t), ao substituir na equação obtemos
X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t)
e dividindo por a^2X(x)T(t) separamos as variáveis:
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda

Passo 3

As condições de contorno u(0,t)=0 e u(L,t)=0 implicam em
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=0, X(L)=0
Dessa EDO de Sturm-Liouville surgem autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/L), n=1,2,dots. A parte temporal satisfaz
Tn''(t)+a^2lambdanTn(t)=0
cujo solução geral é Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t) com omegan=a npi/L. Assim a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)sinl(tfracnpi xLr)

Passo 4

A condição inicial de velocidade ut(x,0)=0
ut(x,0)=sumn=1^infty Bn,omegan,sinl(tfracnpi xLr)=0
logo Bn=0 para todo n. Resta impor u(x,0)=f(x)=tfrac14x(L-x):
f(x)=sumn=1^infty Ansinl(tfracnpi xLr)

Passo 5

Os coeficientes da série de Fourier-seno são
An=2Lintegral0^Lf(x)sinl(tfracnpi xLr)dx =2Lintegral0^Ltfrac14x(L-x)sinl(tfracnpi xLr)dx
Calculando essa integral por partes mostra-se que
An=1-(-1)^n(npi/L)^3L =1-(-1)^nn^3pi^3L^2

Passo 6

Como 1-(-1)^n=0 para n par e =2 para n=2k+1, só aparecem os termos ímpares:
A2k+1=2L^2(2k+1)^3pi^3, k=0,1,2,dots
Portanto, a solução final é a soma dos modos ímpares com coeficientes A2k+1 e B2k+1=0.

Resposta

u(x,t)=sumk=0^infty2L^2(2k+1)^3pi^3,cosl((2k+1)pi aLtr),sinl((2k+1)pi xLr)

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