Resolva a equação da onda sujeita às condições de contorno e iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda utt=a^2uxx em 00, com contorno homogêneo u(0,t)=0, u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=tfrac14x(L-x), ut(x,0)=0. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para encontrar a solução.
Passo 2
Supondo u(x,t)=X(x)T(t), ao substituir na equação obtemos
X(x)T''(t)=a^2X''(x)T(t)
e dividindo por a^2X(x)T(t) separamos as variáveis:
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda
Passo 3
As condições de contorno u(0,t)=0 e u(L,t)=0 implicam em
X''(x)+lambda X(x)=0, X(0)=0, X(L)=0
Dessa EDO de Sturm-Liouville surgem autovalores lambdan=(npi/L)^2 e autofunções Xn(x)=sin(npi x/L), n=1,2,dots. A parte temporal satisfaz
Tn''(t)+a^2lambdanTn(t)=0
cujo solução geral é Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t) com omegan=a npi/L. Assim a solução geral é