Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=cc0, & -2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Fourier da função definida por partes no intervalo . A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.

Passo 2

Primeiro, identificamos o período da função. Observando que a função está definida de a , o período é (porque de a são unidades). Isso significa que a função se repete a cada intervalo de unidades.

Passo 3

A série de Fourier para uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(npi xL) + bn sin(npi xL) ] é dada por:
onde . Precisamos encontrar os coeficientes , e .

Passo 4

Vamos começar calculando o coeficiente a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx = 12 integral-2^2 f(x) , dx , que representa a média da função no intervalo:

Passo 5

Dividimos a integral conforme a definição da função:
a0 = 12 ( integral-2^-1 0 , dx + integral-1^0 (-2) , dx + integral0^1 1 , dx + integral1^2 0 , dx )
Calculando cada parte:
a0 = 12 ( 0 + (-2)(0 - (-1)) + 1(1 - 0) + 0 ) = 12 (-2 cdot 1 + 1 cdot 1) = 12 (-2 + 1) = -12

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) , dx = 12 integral-2^2 f(x) cos(npi x2) , dx :
Como a função não é par nem ímpar, precisamos calcular os dois termos.

Passo 7

Dividindo a integral conforme a definição da função:
an = 12 ( integral-2^-1 0 cdot cos(npi x2) , dx + integral-1^0 (-2) cos(npi x2) , dx + integral0^1 1 cdot cos(npi x2) , dx + integral1^2 0 cdot cos(npi x2) , dx )
Simplificando:
an = 12 ( -2 integral-1^0 cos(npi x2) , dx + integral0^1 cos(npi x2) , dx )
Integrando:
an = 12 ( -2 [ 2npi sin(npi x2) ]-1^0 + [ 2npi sin(npi x2) ]0^1 )
Calculando os limites:
an = 12 ( -2 ( 0 - ( -2npi sin(npi2) ) ) + ( 2npi sin(npi2) - 0 ) )
Simplificando:
an = -1npi sin(npi2)

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes bn = 1L integral-L^L f(x) sin(npi xL) , dx = 12 integral-2^2 f(x) sin(npi x2) , dx :

Passo 9

Dividindo a integral conforme a definição da função:
bn = 12 ( integral-2^-1 0 cdot sin(npi x2) , dx + integral-1^0 (-2) sin(npi x2) , dx + integral0^1 1 cdot sin(npi x2) , dx + integral1^2 0 cdot sin(npi x2) , dx )
Simplificando:
bn = 12 ( -2 integral-1^0 sin(npi x2) , dx + integral0^1 sin(npi x2) , dx )
Integrando:
bn = 12 ( -2 [ -2npi cos(npi x2) ]-1^0 + [ -2npi cos(npi x2) ]0^1 )
Calculando os limites:
bn = 12 ( -2 ( -2npi cdot 1 + 2npi cos(npi2) ) + ( -2npi cos(npi2) + 2npi cdot 1 ) )
Simplificando:
bn = 3npi (1 - cos(npi2))

Passo 10

Agora, juntando os coeficientes na série de Fourier:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(npi x2) + bn sin(npi x2) )
Substituindo f(x) = -14 + sumn=1^infty ( -1npi sin(npi2) cos(npi x2) + 3npi (1 - cos(npi2)) sin(npi x2) ) , , e :

Resposta

A série de Fourier da função f(x) = -14 + sumn=1^infty ( -1npi sin(npi2) cos(npi x2) + 3npi (1 - cos(npi2)) sin(npi x2) ) é:

Exercícios relacionados