Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Fourier da função definida por partes no intervalo . A série de Fourier é uma maneira de representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para essa função específica.
Passo 2
Primeiro, identificamos o período da função. Observando que a função está definida de a , o período é (porque de a são unidades). Isso significa que a função se repete a cada intervalo de unidades.
Passo 3
A série de Fourier para uma função periódica com período f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(npi xL) + bn sin(npi xL) ] é dada por:
onde . Precisamos encontrar os coeficientes , e .
Passo 4
Vamos começar calculando o coeficiente a0 = 1L integral-L^L f(x) , dx = 12 integral-2^2 f(x) , dx , que representa a média da função no intervalo:
Passo 5
Dividimos a integral conforme a definição da função: