u(x, t)=sumn=1^infty bn sin [(2 n-1) pi x2 L] cos [(2 n-1) pi a t2 L] para t >= 10 La
cujo os bn são dados por
bn=-2L integral0^L f(x) sin [(2 n-1) pi x2 L] d x
Observação: a série sumn=1^infty bn sin [(2 n-1) pi x2 L], não é uma série de Fourier padrão, porém os seus coeficientes podem ser determinados a partir da idéia de funções ortogonais.

Passo 1

Temos uma solução geral da equação de onda dada por
u(x,t)=sumn=1^infty bn sinl((2n-1)pi x2Lr)cosl((2n-1)pi a t2Lr)para t>=10La,
onde os coeficientes bn são definidos em função de uma função inicial f(x). O conteúdo principal é expansão em séries de funções ortogonais (funções senoidais) e como extrair os coeficientes usando a ortogonalidade.

Passo 2

No instante t0=10L/a temos
u(x,t0)=f(x)
Mas como
cosl((2n-1)pi a t02Lr)=cosl((2n-1)5pir)=cosl((2n-1)pir)=-1,
nos leva a
f(x)=u(x,t0)=sumn=1^infty bnsinl((2n-1)pi x2Lr)(-1)=-sumn=1^infty bnsinl((2n-1)pi x2Lr)

Passo 3

As funções sinl(tfrac(2n-1)pi x2Lr) são ortogonais no intervalo [0,L]. Ou seja,
integral0^Lsinl((2n-1)pi x2Lr)sinl((2m-1)pi x2Lr),dx=tfracL2,&n=m,0,&nne m

Passo 4

Multiplicamos a expressão de f(x) por
sinl(tfrac(2m-1)pi x2Lr) e integramos de 0 a L:
integral0^L f(x)sinl((2m-1)pi x2Lr)dx=-sumn=1^infty bnintegral0^Lsinl((2n-1)pi x2Lr)sinl((2m-1)pi x2Lr)dx

Passo 5

Pela ortogonalidade, só sobrevive o termo n=m, então
$$\int_0^L f(x)\sin\Bigl(\frac{(2m-1)\pi x}{2L}\Bigr)dx=-b_m\frac{L}{2}.
$$
Isolando integral0^L f(x)sinl((2m-1)pi x2Lr)dx=-bmL2 vem

Passo 6

\

Resposta

bn=-2L integral0^L f(x),sinl((2 n-1) pi x2 Lr),dx.

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