Considere condução em regime estacionário através de uma parede plana que separa dois fluidos a diferentes temperaturas, \mathrm{T}_{\infty, \mathrm{i}} e \mathrm{T}_{\infty}, \mathrm{e}, adjacentes às superfícies interna e externa, respectivamente. Se o coeficiente convectivo na superfície externa for cinco vezes maior do que o na superfície interna, \mathrm{h}_{\mathrm{e}}=5 \mathrm{~h}_{\mathrm{i}}, o que você pode dizer sobre a proximidade relativa das temperaturas das superfícies correspondentes, \mathrm{T}_{\mathrm{s}, \mathrm{e}} \mathrm{e} \mathrm{T}_{\mathrm{s}, \mathrm{i}}, em relação às dos respectivos fluidos adjacentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Há uma parede plana em regime estacionário separando dois fluidos com temperaturas adjacentes \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{i}} (lado interno) e \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{e}} (lado externo).
  • As temperaturas das superfícies da parede são \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{i}} (superfície interna) e \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{e}} (superfície externa).
  • O coeficiente convectivo externo é cinco vezes o interno: \mathrm{h}_{\mathrm{e}} = 5\,\mathrm{h}_{\mathrm{i}}.
  • Pergunta: o que podemos dizer, qualitativamente e quantitativamente, sobre quão próximas as temperaturas de superfície \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{e}} e \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{i}} estão das respectivas temperaturas dos fluidos adjacentes \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{e}} e \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{i}}?

Passo 2

Apresento a relação fundamental na troca convectiva de calor entre um fluido e uma superfície. A densidade de fluxo de calor convectivo (calor por unidade de área) na interface é dada por:
q'' = h\,(T_{\infty} - T_{s})
Explicando cada símbolo: q'' é o fluxo de calor por área (W/m²), h é o coeficiente convectivo (W/m²·K), T_{\infty} é a temperatura do fluido afastado da superfície e T_{s} é a temperatura da superfície. Essa fórmula diz que a diferença de temperatura entre fluido e superfície gera um fluxo proporcional a h.

Passo 3

Em regime estacionário e numa direção normal à parede, o fluxo de calor por área é o mesmo em todas as seções (continuidade do fluxo). Portanto o fluxo convectivo do lado interno e do lado externo são iguais ao fluxo que atravessa a parede. Escrevemos para cada lado:
q'' = h_{\mathrm{i}}\bigl(T_{\infty,\mathrm{i}} - T_{\mathrm{s},\mathrm{i}}\bigr)
q'' = h_{\mathrm{e}}\bigl(T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}}\bigr)
Observação: pus a diferença no lado externo como T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}} assumindo o sentido do fluxo do interior para o exterior; estamos interessados nas magnitudes das quedas de temperatura, então o sinal só indica direção.

Passo 4

Igualando as duas expressões (pois o mesmo q'' atravessa ambos os convectores), obtemos:
h_{\mathrm{i}}\bigl(T_{\infty,\mathrm{i}} - T_{\mathrm{s},\mathrm{i}}\bigr) \;=\; h_{\mathrm{e}}\bigl(T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}}\bigr)
Agora isolamos a razão entre as quedas de temperatura convectivas:
\frac{T_{\infty,\mathrm{i}} - T_{\mathrm{s},\mathrm{i}}}{T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}}} \;=\; \frac{h_{\mathrm{e}}}{h_{\mathrm{i}}}
Usando o dado \,h_{\mathrm{e}} = 5\,h_{\mathrm{i}}\,, segue:
\frac{T_{\infty,\mathrm{i}} - T_{\mathrm{s},\mathrm{i}}}{T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}}} = 5.

Passo 5

Interpretação física clara e direta: a queda de temperatura entre o fluido interno e a superfície interna, T_{\infty,\mathrm{i}} - T_{\mathrm{s},\mathrm{i}}, é 5 vezes maior do que a queda entre a superfície externa e o fluido externo, T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}}. Em outras palavras, a superfície externa \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{e}} está muito mais próxima da temperatura do fluido externo \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{e}} do que a superfície interna \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{i}} está da temperatura do fluido interno \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{i}}.

Passo 6

Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia (não altera o raciocínio geral): suponha arbitrariamente q''=1\\ \mathrm{W/m^2} e h_{\mathrm{i}}=10\\ \mathrm{W/m^2K}. Então h_{\mathrm{e}}=50\\ \mathrm{W/m^2K}. As quedas seriam
T_{\infty,\mathrm{i}} - T_{\mathrm{s},\mathrm{i}} = \frac{q''}{h_{\mathrm{i}}} = \frac{1}{10} = 0{,}1\\ \mathrm{K},
T_{\mathrm{s},\mathrm{e}} - T_{\infty,\mathrm{e}} = \frac{q''}{h_{\mathrm{e}}} = \frac{1}{50} = 0{,}02\\ \mathrm{K}.
Aqui vemos que a superfície externa está muito mais próxima do seu fluido (diferença 0{,}02\\ \mathrm{K}) do que a superfície interna do seu fluido (diferença 0{,}1\\ \mathrm{K}), justamente pelo fator 5.

Passo 7

Resumo intuitivo: quanto maior o coeficiente convectivo h, mais eficiente é a troca de calor entre fluido e superfície, logo menor a diferença de temperatura necessária para transportar o mesmo fluxo. Como h_{\mathrm{e}} é cinco vezes h_{\mathrm{i}}, a superfície externa se ajusta muito mais à temperatura do fluido externo; a superfície interna fica relativamente mais afastada da temperatura do fluido interno.

Resposta

\mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{e}} está significativamente mais próxima de \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{e}} do que \mathrm{T}_{\mathrm{s},\mathrm{i}} de \mathrm{T}_{\infty,\mathrm{i}}; especificamente \;T_{\infty,\mathrm{i}}-T_{\mathrm{s},\mathrm{i}} = 5\,(T_{\mathrm{s},\mathrm{e}}-T_{\infty,\mathrm{e}}).

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