Seja T: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3} a transformação linear dada pela equação T(x, y, z)=((1 / 3) a (1 / 3) y+(1 / 3) z,(1 / 3) x+(1 / 3) y+(1 / 3) z,(1 / 3) x+(1 / 3) y+(1 / 3) z).
(1 ponto) Encontre a matriz A da transformação T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T:\mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}y+\tfrac{1}{3}z,\;\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}y+\tfrac{1}{3}z,\;\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}y+\tfrac{1}{3}z\Bigr).
O que se pede: encontrar a matriz A da transformação T (isto é, a matriz tal que A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=T(x,y,z) para todo (x,y,z)\in\mathbf{R}^3).
Informações relevantes: domínio e contradomínio são \mathbf{R}^3 e cada componente de T(x,y,z) é \tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}y+\tfrac{1}{3}z.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): uma maneira prática de achar a matriz de uma transformação linear é calcular as imagens dos vetores da base canônica
e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
A razão: se A é a matriz de T na base canônica, então as colunas de A são exatamente T(e_1),T(e_2),T(e_3). Vou calcular cada uma dessas imagens passo a passo.

Passo 3

Calcular T(e_1)=T(1,0,0). Substituindo x=1,y=0,z=0 na definição de T obtemos cada componente:
\tfrac{1}{3}\cdot 1+\tfrac{1}{3}\cdot 0+\tfrac{1}{3}\cdot 0=\tfrac{1}{3}.
Como todas as três componentes têm a mesma expressão, temos
T(e_1)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T(e_2)=T(0,1,0). Substituindo x=0,y=1,z=0 obtemos cada componente:
\tfrac{1}{3}\cdot 0+\tfrac{1}{3}\cdot 1+\tfrac{1}{3}\cdot 0=\tfrac{1}{3}.
Portanto
T(e_2)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T(e_3)=T(0,0,1). Substituindo x=0,y=0,z=1 obtemos cada componente:
\tfrac{1}{3}\cdot 0+\tfrac{1}{3}\cdot 0+\tfrac{1}{3}\cdot 1=\tfrac{1}{3}.
Logo
T(e_3)=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar a matriz A colocando T(e_1),T(e_2),T(e_3) como colunas, na ordem:
A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para a prova): multiplicando A pelo vetor \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtemos na primeira linha
\tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}y+\tfrac{1}{3}z,
e as demais linhas dão o mesmo, então A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=T(x,y,z), confirmando que a matriz acima é correta.

Resposta

A=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

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