O que se pede: encontrar a matriz A da transformação T (isto é, a matriz tal que A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=T(x,y,z) para todo (x,y,z)\in\mathbf{R}^3).
Informações relevantes: domínio e contradomínio são \mathbf{R}^3 e cada componente de T(x,y,z) é \tfrac{1}{3}x+\tfrac{1}{3}y+\tfrac{1}{3}z.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): uma maneira prática de achar a matriz de uma transformação linear é calcular as imagens dos vetores da base canônica
A razão: se A é a matriz de T na base canônica, então as colunas de A são exatamente T(e_1),T(e_2),T(e_3). Vou calcular cada uma dessas imagens passo a passo.
Passo 3
Calcular T(e_1)=T(1,0,0). Substituindo x=1,y=0,z=0 na definição de T obtemos cada componente: