(1) Considere o conjunto A=\{1,2,3,4,5\}.
a) Construa o conjunto das partes de A .
b) Qual é a cardinalidade do conjunto das partes de A?
c) Quantos subconjuntos de A possuem exatamente 3 elementos?
d) Em um grupo de 5 crianças, de quantas maneiras distintas podemos escolher 3 delas para participarem de uma brincadeira?
(2) Considere o conjunto A=\{1,2,3, \cdots, 50\}.
a) Qual é a cardinalidade do conjunto das partes de A?
b) Quantos subconjuntos de A possuem exatamente 3 elementos?
c) Quantos subconjuntos de A possuem exatamente 47 elementos?
d) Em um grupo de 50 crianças, de quantas maneiras distintas podemos escolher 3 delas para participarem de uma brincadeira?
e) Em um grupo de 50 crianças, de quantas maneiras distintas podemos escolher 47 delas para participarem de uma brincadeira?

Passo 1

O enunciado trata de conjuntos finitos e suas partes (power set), além de contar subconjuntos com certa cardinalidade e relacionar isso ao número de maneiras de escolher crianças em um grupo. Vamos usar a definição de conjunto das partes, a fórmula
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
para contar subconjuntos de tamanho k em um conjunto de n elementos, e o fato de que um conjunto com n elementos tem 2^n subconjuntos.

Passo 2

Para A=\{1,2,3,4,5\}, o conjunto das partes \mathcal{P}(A) é
\mathcal{P}(A)=\{\,X\mid X\subseteq A\},
isto é, todos os 32 subconjuntos de A. Podemos listar agrupando por cardinalidade:
\emptyset;\quad \{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\};
\{1,2\},\{1,3\},\ldots,\{4,5\};
\{1,2,3\},\ldots,\{3,4,5\};
\{1,2,3,4\},\ldots,\{2,3,4,5\}; \quad \{1,2,3,4,5\}.

Passo 3

A cardinalidade de \mathcal{P}(A) é
\lvert\mathcal{P}(A)\rvert=2^{5}=32.

Passo 4

O número de subconjuntos de A com exatamente 3 elementos é
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!\,2!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.

Passo 5

Escolher 3 crianças dentre 5 é exatamente contar subconjuntos de tamanho 3, logo há
\binom{5}{3}=10
maneiras.

Passo 6

Para A=\{1,2,3,\dots,50\}, a cardinalidade de \mathcal{P}(A) é
\lvert\mathcal{P}(A)\rvert=2^{50}.

Passo 7

O número de subconjuntos de A com exatamente 3 elementos é
\binom{50}{3} =\frac{50\cdot49\cdot48}{3\cdot2\cdot1} =19600.

Passo 8

O número de subconjuntos de A com exatamente 47 elementos é
\binom{50}{47} =\binom{50}{3} =19600,
pois \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.

Passo 9

Escolher 3 crianças dentre 50 é dado por
\binom{50}{3}=19600.

Passo 10

Escolher 47 crianças dentre 50 é
\binom{50}{47}=19600.

Resposta

(1)
(a) \mathcal{P}(A)=\{\emptyset;\{1\},\{2\},\ldots,\{1,2,3,4,5\}\}.
(b) 32.
(c) 10.
(d) 10.
(2)
(a) 2^{50}.
(b) 19600.
(c) 19600.
(d) 19600.
(e) 19600.

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