Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível. B=\{(2,1,4),(1,-1,3),(1,1,2)\} \quad E=\mathbb{R}^{3} \quad u=(5,-3,1) e v=(0,1,0)
Passo 1
O enunciado pede para expressar os vetores \,u=(5,-3,1) e \,v=(0,1,0)
como combinação linear dos vetores de
B=\{(2,1,4),\,(1,-1,3),\,(1,1,2)\}
no espaço vetorial E=\mathbb{R}^3.
O conteúdo envolvido é a resolução de sistemas lineares para encontrar coeficientes \alpha,\beta,\gamma tais que
da primeira equação \beta=5-2\alpha-\gamma\].
2) substituindo na segunda: \(\alpha-(5-2\alpha-\gamma)+\gamma=-3\implies3\alpha+2\gamma=2.
3) substituindo em \,4\alpha+3\beta+2\gamma=1
vem \,2\alpha+\gamma=14.
Dessas duas equações obtemos \alpha=26,\;\gamma=-38 e daí \beta=5-2\cdot26-(-38)=-9.
Passo 4
Expressão de v=(0,1,0)\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tal que
\[\alpha(2,1,4)+\beta(1,-1,3)+\gamma(1,1,2)=(0,1,0),
da primeira equação \beta=-2\alpha-\gamma\].
2) na segunda: \(\alpha-(-2\alpha-\gamma)+\gamma=1\implies3\alpha+2\gamma=1.
3) na terceira: 4\alpha+3(-2\alpha-\gamma)+2\gamma=0\implies2\alpha+\gamma=0.
Dessas obtemos \alpha=-1,\;\gamma=2 e \beta=0.