Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\{(2,1,4),(1,-1,3),(1,1,2)\} \quad E=\mathbb{R}^{3} \quad u=(5,-3,1) e v=(0,1,0)

Passo 1

O enunciado pede para expressar os vetores \,u=(5,-3,1) e \,v=(0,1,0)
como combinação linear dos vetores de
B=\{(2,1,4),\,(1,-1,3),\,(1,1,2)\}
no espaço vetorial E=\mathbb{R}^3.
O conteúdo envolvido é a resolução de sistemas lineares para encontrar coeficientes \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(2,1,4)+\beta(1,-1,3)+\gamma(1,1,2)=(x,y,z).

Passo 2

Antes de tudo, verificamos que B é uma base (i.e.\ é LI e gera \mathbb{R}^3). Montamos a matriz cujas colunas são os vetores de B:
M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante para garantir invertibilidade:
\det(M) =2\begin{vmatrix}-1 & 1\\\ 3 & 2\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 4 & 2\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}1 & -1\\\ 4 & 3\end{vmatrix} =2(-2-3)\;-\;(2-4)\;+\;(3+4) =-10+2+7=-1\neq0.
Como \det(M)\neq0, B é base de \mathbb{R}^3 e todo vetor pode ser escrito como combinação linear de B.

Passo 3

Expressão de u=(5,-3,1)\). Buscamos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha(2,1,4)+\beta(1,-1,3)+\gamma(1,1,2)=(5,-3,1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\alpha+\beta+\gamma=5,\\\ \alpha-\beta+\gamma=-3,\\\\ 4\alpha+3\beta+2\gamma=1. \end{cases}
Resolvendo:
  1. da primeira equação \beta=5-2\alpha-\gamma\]. 2) substituindo na segunda: \(\alpha-(5-2\alpha-\gamma)+\gamma=-3\implies3\alpha+2\gamma=2.
    3) substituindo em \,4\alpha+3\beta+2\gamma=1
    vem \,2\alpha+\gamma=14.
    Dessas duas equações obtemos \alpha=26,\;\gamma=-38 e daí \beta=5-2\cdot26-(-38)=-9.

Passo 4

Expressão de v=(0,1,0)\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tal que \[\alpha(2,1,4)+\beta(1,-1,3)+\gamma(1,1,2)=(0,1,0),
isto é,
\begin{cases} 2\alpha+\beta+\gamma=0,\\\ \alpha-\beta+\gamma=1,\\\\ 4\alpha+3\beta+2\gamma=0. \end{cases}
Resolvendo:
  1. da primeira equação \beta=-2\alpha-\gamma\]. 2) na segunda: \(\alpha-(-2\alpha-\gamma)+\gamma=1\implies3\alpha+2\gamma=1.
    3) na terceira: 4\alpha+3(-2\alpha-\gamma)+2\gamma=0\implies2\alpha+\gamma=0.
    Dessas obtemos \alpha=-1,\;\gamma=2 e \beta=0.

Resposta

u=(5,-3,1)=26\,(2,1,4)\;-\;9\,(1,-1,3)\;-\;38\,(1,1,2) v=(0,1,0)=-1\,(2,1,4)\;+\;0\,(1,-1,3)\;+\;2\,(1,1,2)

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