Considere o conjunto B em cada item e escreva os vetores u e v do espaço vetorial E como combinação linear dos vetores de B se possível.
B=\{(3,1),(-2,5)\} \quad E=\mathbb{R}^{2} \quad u=(6,-4) e v=(3,1)

Passo 1

O enunciado pede para ver se os vetores do espaço \mathbb{R}^2
u=(6,-4)\quad\text{e}\quad v=(3,1)
podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base
B=\{(3,1),\,(-2,5)\}.
Como \det\begin{pmatrix}3&-2\\\ 1&5\end{pmatrix}=3\cdot5-(-2)\cdot1=17\neq0, qualquer vetor de \mathbb{R}^2 admite representação única em B.

Passo 2

Para u\), suponha \[u = a\,(3,1) \;+\; b\,(-2,5)\,.
Isso gera o sistema
\begin{cases} 3a - 2b = 6,\\\ a + 5b = -4. \end{cases}
Pela primeira equação (a=\frac{6+2b}{3}]. Substituindo na segunda:
\frac{6+2b}{3} +5b = -4 \quad\Longrightarrow\quad 6+2b+15b = -12 \quad\Longrightarrow\quad 17b = -18 \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{18}{17},
e então
a = \frac{6+2\bigl(-\tfrac{18}{17}\bigr)}{3} = \frac{6-\tfrac{36}{17}}{3} = \frac{\tfrac{102-36}{17}}{3} = \frac{66}{51} = \frac{22}{17}.

Passo 3

Para v\), suponha \[v = \alpha\,(3,1) \;+\;\beta\,(-2,5).
O sistema é
\begin{cases} 3\alpha - 2\beta = 3,\\\ \alpha + 5\beta = 1. \end{cases}
Da primeira equação \alpha=\frac{3+2\beta}{3}\]. Substituindo na segunda: \[\frac{3+2\beta}{3} +5\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3+2\beta+15\beta = 3 \quad\Longrightarrow\quad 17\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 0,\] logo \(\alpha = \tfrac{3}{3}=1.

Resposta

u pode ser escrito como
u = \frac{22}{17}\,(3,1)\;+\;\Bigl(-\frac{18}{17}\Bigr)\,(-2,5),
e v como
v = 1\,(3,1) \;+\; 0\,(-2,5).

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