Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
O conjunto de solução dos sistemas lineares abaixo: S_{1}=\left\{\begin{array}{c}x+y-z+w-t=0 \\\ x+y+z+w-t=0 \\\ x-2 y+z+w+t=0\end{array}\right. S_{2}=\left\{\begin{array}{c}x+y-z+w-t=0 \\\ x+y+z+w-t=1 \\\ x-2 y+z+w+t=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial V=\mathbb{R}^5 e define dois subconjuntos S_{1} e S_{2} como soluções de sistemas lineares. Precisamos verificar para cada um se é subespaço de V e, caso seja, determinar um conjunto gerador, uma base e a dimensão.
Passo 2
Um conjunto é subespaço vetorial se e somente se (i) contém o vetor zero e (ii) é fechado para combinação linear. O conjunto de soluções de um sistema homogêneo sempre satisfaz esses critérios, mas o de um sistema não homogêneo pode falhar, pois geralmente não contém o zero.
Passo 3
Resolvemos S_{1}\) dado por
\[\begin{cases} x+y-z+w-t=0,\\\ x+y+z+w-t=0,\\\ x-2y+z+w+t=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos 2z=0\], logo \(z=0. Com isso restam
x+y+w-t=0, \quad x-2y+w+t=0.
Escolhemos variáveis livres y=s e w=u. Da primeira equação