Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
O conjunto de solução dos sistemas lineares abaixo:
S_{1}=\left\{\begin{array}{c}x+y-z+w-t=0 \\\ x+y+z+w-t=0 \\\ x-2 y+z+w+t=0\end{array}\right.
S_{2}=\left\{\begin{array}{c}x+y-z+w-t=0 \\\ x+y+z+w-t=1 \\\ x-2 y+z+w+t=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V=\mathbb{R}^5 e define dois subconjuntos S_{1} e S_{2} como soluções de sistemas lineares. Precisamos verificar para cada um se é subespaço de V e, caso seja, determinar um conjunto gerador, uma base e a dimensão.

Passo 2

Um conjunto é subespaço vetorial se e somente se (i) contém o vetor zero e (ii) é fechado para combinação linear. O conjunto de soluções de um sistema homogêneo sempre satisfaz esses critérios, mas o de um sistema não homogêneo pode falhar, pois geralmente não contém o zero.

Passo 3

Resolvemos S_{1}\) dado por \[\begin{cases} x+y-z+w-t=0,\\\ x+y+z+w-t=0,\\\ x-2y+z+w+t=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtemos 2z=0\], logo \(z=0. Com isso restam
x+y+w-t=0, \quad x-2y+w+t=0.
Escolhemos variáveis livres y=s e w=u. Da primeira equação
x=-y-w+t=-s-u+t.
Substituindo na segunda:
(-s-u+t)-2s+u+t=0\;\Longrightarrow\;-3s+2t=0\;\Longrightarrow\;t=\tfrac32s.
Logo a solução geral é
x=\tfrac12s-u,\quad y=s,\quad z=0,\quad w=u,\quad t=\tfrac32s.

Passo 4

Escrevemos a solução em forma de combinação linear:
(x,y,z,w,t) =s\Bigl(\tfrac12,\,1,\,0,\,0,\,\tfrac32\Bigr) +u\bigl(-1,\,0,\,0,\,1,\,0\bigr).
Multiplicando o primeiro vetor por 2 para coordenadas inteiras, um conjunto gerador para S_{1} é
\{(1,2,0,0,3),\;(-1,0,0,1,0)\}.
Esses dois vetores são linearmente independentes e geram S_{1}, logo formam uma base de S_{1}. Consequentemente
\dim(S_{1})=2.

Passo 5

Para S_{2}\), o sistema é \[\begin{cases} x+y-z+w-t=0,\\\ x+y+z+w-t=1,\\\ x-2y+z+w+t=0. \end{cases}
O vetor zero não satisfaz a segunda equação, portanto S_{2}\] não contém o zero de \(V e não é subespaço vetorial.

Resposta

S_{1} é subespaço de \mathbb{R}^5.
Um gerador é
\{(1,2,0,0,3),\;(-1,0,0,1,0)\},
que também forma uma base de S_{1}. Portanto \dim(S_{1})=2. S_{2} não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^5.

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