Considere um conjunto de partículas com velocidades
que podem assumir os valores
, com probabilidades
e 0,3 , respectivamente. Calcule: A velocidade média
.
b - A dispersão
das velocidades.
b - A dispersão
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício onde a gente tem um grupo de partículas que podem ter velocidades específicas: 2 m/s, 4 m/s e 6 m/s. Cada uma dessas velocidades tem uma certa probabilidade de ocorrência: 0,3 para 2 m/s, 0,4 para 4 m/s e 0,3 para 6 m/s. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de média e dispersão das velocidades. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média (⟨v⟩) e a dispersão (⟨(Δv)²⟩) das velocidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média ⟨v⟩. A velocidade média é uma média ponderada das velocidades possíveis, onde cada velocidade é multiplicada pela sua probabilidade de ocorrência. A fórmula para a velocidade média é:
Aqui, $ v_i $ são as velocidades e $ P(v_i) $ são as probabilidades correspondentes.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula com os valores fornecidos:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, somamos esses resultados para obter a velocidade média:
Passo 5
Agora, vamos calcular a dispersão ⟨(Δv)²⟩ das velocidades. A dispersão mede o quanto as velocidades individuais se afastam da média. A fórmula para a dispersão é:
Passo 6
Primeiro, precisamos calcular a diferença de cada velocidade em relação à média, elevar ao quadrado e multiplicar pela probabilidade correspondente:
Para $ v = 2 , m/s $:
Para $ v = 4 , m/s $:
Para $ v = 6 , m/s $:
Passo 7
Agora, somamos esses valores para obter a dispersão:
Resposta
a) A velocidade média é $ \langle v \rangle = 4,0 , m/s $.
b) A dispersão das velocidades é $ \langle (\Delta v)^2 \rangle = 2,4 , (m/s)^2 $.