Considere um conjunto de partículas com velocidades v que podem assumir os valores 2 m / s, 4 m / s, 6 m / s, com probabilidades 0,3,0,4 e 0,3 , respectivamente. Calcule: A velocidade média lang<= vrang<=.
b - A dispersão lang<=(De das velocidades.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício onde a gente tem um grupo de partículas que podem ter velocidades específicas: 2 m/s, 4 m/s e 6 m/s. Cada uma dessas velocidades tem uma certa probabilidade de ocorrência: 0,3 para 2 m/s, 0,4 para 4 m/s e 0,3 para 6 m/s. Aqui, vamos trabalhar com conceitos de média e dispersão das velocidades. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média (⟨v⟩) e a dispersão (⟨(Δv)²⟩) das velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média ⟨v⟩. A velocidade média é uma média ponderada das velocidades possíveis, onde cada velocidade é multiplicada pela sua probabilidade de ocorrência. A fórmula para a velocidade média é:
lang<= v rang<= = sumi vi cdot P(vi)
Aqui, $ v_i $ são as velocidades e $ P(v_i) $ são as probabilidades correspondentes.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores fornecidos:
lang<= v rang<= = (2 , m/s) cdot 0,3 + (4 , m/s) cdot 0,4 + (6 , m/s) cdot 0,3
Calculando cada termo:
2 cdot 0,3 = 0,6 , m/s
4 cdot 0,4 = 1,6 , m/s
6 cdot 0,3 = 1,8 , m/s

Passo 4

Agora, somamos esses resultados para obter a velocidade média:
lang<= v rang<= = 0,6 + 1,6 + 1,8 = 4,0 , m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular a dispersão ⟨(Δv)²⟩ das velocidades. A dispersão mede o quanto as velocidades individuais se afastam da média. A fórmula para a dispersão é:
lang<= (De

Passo 6

Primeiro, precisamos calcular a diferença de cada velocidade em relação à média, elevar ao quadrado e multiplicar pela probabilidade correspondente:
Para $ v = 2 , m/s $:
v = 2 , m/s
(2 - 4)^2 = (-2)^2 = 4
Para $ v = 4 , m/s $:
P(v) cdot (v - lang<= v rang<=)^2 = 0,3 cdot 4 = 1,2
v = 4 , m/s
Para $ v = 6 , m/s $:
(4 - 4)^2 = 0^2 = 0
P(v) cdot (v - lang<= v rang<=)^2 = 0,4 cdot 0 = 0

Passo 7

Agora, somamos esses valores para obter a dispersão:
lang<= (De

Resposta

a) A velocidade média é $ \langle v \rangle = 4,0 , m/s $.
b) A dispersão das velocidades é $ \langle (\Delta v)^2 \rangle = 2,4 , (m/s)^2 $.

Exercícios relacionados