Em um experimento, um caminhante aleatório realiza
passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é
e para a esquerda é
. Considerando que o deslocamento total do caminhante após
passos é dado por
, onde
é a diferença entre o número de passos para a direita
e o número de passos para a esquerda
, e
metro é o comprimento de cada passo, determine: A variância
do deslocamento.
c - O desvio relativo
para esse deslocamento.
c - O desvio relativo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um caminhante que dá
passos, onde a probabilidade de cada passo ser para a direita é
e para a esquerda é
. Queremos encontrar o desvio relativo, que é dado por
.
Para resolver isso, precisamos entender alguns conceitos:
- Deslocamento total (
): Diferença entre o número de passos para a direita ( ) e para a esquerda ( ) multiplicada pelo comprimento de cada passo ( ). - Média do deslocamento (
): Valor médio esperado do deslocamento após passos. - Variância (
): Medida de quanta variação ou dispersão existe em torno da média do deslocamento. - Desvio relativo: Relação entre o desvio padrão (raiz da variância) e a média do deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média do deslocamento
. Sabemos que cada passo para a direita contribui positivamente e para a esquerda negativamente.
A média de passos para a direita é
passos.
A média de passos para a esquerda é
passos.
Então, a média do deslocamento é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância
. A variância mede a dispersão dos deslocamentos em torno da média.
Como cada passo é independente, a variância total é a soma das variâncias individuais dos passos.
Para cada passo, a variância é dada por:
Como temos
passos, a variância total é:
Passo 4
Com a variância calculada, podemos encontrar o desvio padrão
, que é a raiz da variância:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o desvio relativo, que é a relação entre o desvio padrão e a média do deslocamento:
Resposta
O desvio relativo é aproximadamente
ou
.