Considere o conjunto de polinômios
S=\left\{1, t, t^{2}\right\}
definido no intervalo -1 \leq t \leq 1. Usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
S=\{\,1,\; t,\; t^{2}\,\}
definido no intervalo -1\le t\le 1. A tarefa é obter, pelo processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal a partir desses polinômios, isto é, três funções \phi_{0},\phi_{1},\phi_{2} tais que:
  • cada \phi_{i} é uma combinação linear de 1,t,t^{2};
  • \langle \phi_{i},\phi_{j}\rangle=0 para i\neq j e \langle \phi_{i},\phi_{i}\rangle=1.
Vou usar o produto interno usual em L^{2}([-1,1]), que é o mais natural aqui:
\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1} f(t)\,g(t)\,dt.

Passo 2

Breve explicação do método (Gram–Schmidt) e fórmulas que serão usadas, de forma bem prática.
Gram–Schmidt transforma uma família linearmente independente \{v_{1},v_{2},v_{3}\} numa família ortogonal \{w_{1},w_{2},w_{3}\} por:
w_{1}=v_{1}, \qquad w_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{w_{1}} v_{2}, \qquad w_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{w_{1}} v_{3}-\operatorname{proj}_{w_{2}} v_{3},
onde a projeção é
\operatorname{proj}_{w} v=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w.
Depois obtemos a família ortonormal \{\phi_{i}\} normalizando:
\phi_{i}=\frac{w_{i}}{\|w_{i}\|},\qquad \|w_{i}\|=\sqrt{\langle w_{i},w_{i}\rangle}.
Vamos aplicar isso com v_{1}=1, v_{2}=t, v_{3}=t^{2}. Em cada passo eu explico o cálculo dos produtos internos (integrais) e porque certos termos são zero (simetria/paridade).

Passo 3

Ortogonalizar e normalizar v_{1}=1.
Calcular a norma ao quadrado:
\langle 1,1\rangle=\int_{-1}^{1} 1\cdot 1\,dt=\int_{-1}^{1} 1\,dt=2.
Logo \|v_{1}\|=\sqrt{2}. A primeira função ortonormal é
\phi_{0}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Comentário pedagógico: a razão é simples — a integral da constante 1 sobre [-1,1] dá a medida do intervalo, que é 2; dividir por \sqrt{2} garante norma 1.

Passo 4

Ortogonalizar e normalizar v_{2}=t em relação a w_{1}=v_{1}=1.
Primeiro o produto interno entre t e \phi_{0}:
\langle t,\phi_{0}\rangle=\int_{-1}^{1} t\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1} t\,dt.
A integral \int_{-1}^{1} t\,dt é zero porque t é função ímpar e o intervalo é simétrico. Portanto
\langle t,\phi_{0}\rangle=0.
Isto significa que t já é ortogonal a 1 (boa notícia!).
Calcular a norma de t:
\langle t,t\rangle=\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1^{3}-(-1)^{3}}{3}=\frac{2}{3}.
Então \|t\|=\sqrt{\tfrac{2}{3}}. A segunda função ortonormal é
\phi_{1}=\frac{t}{\|t\|}=t\sqrt{\frac{3}{2}}.
Dica prática: sempre cheque a paridade (par/ímpar) das funções antes de integrar — muitas vezes economiza trabalho porque produtos com uma função ímpar sobre intervalo simétrico valem zero.

Passo 5

Ortogonalizar v_{3}=t^{2} em relação a w_{1}=v_{1}=1 e w_{2} (que neste caso é t).
Calcular \langle t^{2},\phi_{0}\rangle:
\langle t^{2},\phi_{0}\rangle=\int_{-1}^{1} t^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1} t^{2}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3\sqrt{2}}.
Calcular \langle t^{2},\phi_{1}\rangle:
\langle t^{2},\phi_{1}\rangle=\int_{-1}^{1} t^{2}\cdot\left(t\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\,dt=\sqrt{\frac{3}{2}}\int_{-1}^{1} t^{3}\,dt.
A integral \int_{-1}^{1} t^{3}\,dt é zero (função ímpar). Portanto \langle t^{2},\phi_{1}\rangle=0.
Assim a única projeção não nula é sobre \phi_{0}. A componente ortogonal de t^{2} é
w_{3}=t^{2}-\langle t^{2},\phi_{0}\rangle\,\phi_{0}.
Substituindo os valores:
\langle t^{2},\phi_{0}\rangle\,\phi_{0}=\frac{2}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}.
Portanto
w_{3}=t^{2}-\frac{1}{3}.
Explicação: este é o passo clássico — subtrai-se a média (no sentido do produto interno) da função t^{2} para torná‑la ortogonal à constante.
Agora normalizar w_{3}. Primeiro calculamos a norma ao quadrado:
\langle w_{3},w_{3}\rangle=\int_{-1}^{1}\left(t^{2}-\frac{1}{3}\right)^{2}dt.
Expandindo e integrando termo a termo:
\left(t^{2}-\frac{1}{3}\right)^{2}=t^{4}-\frac{2}{3}t^{2}+\frac{1}{9}.
\int_{-1}^{1} t^{4}\,dt=\left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\frac{2}{5}, \qquad \int_{-1}^{1} t^{2}\,dt=\frac{2}{3}, \qquad \int_{-1}^{1} \frac{1}{9}\,dt=\frac{2}{9}.
Somando:
\langle w_{3},w_{3}\rangle=\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{2}{5}-\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{2}{5}-\frac{2}{9}.
Colocando em denominador comum 45:
\langle w_{3},w_{3}\rangle=\frac{18-10}{45}=\frac{8}{45}.
Logo
\|w_{3}\|=\sqrt{\frac{8}{45}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}.
A função ortonormal \phi_{2} é
\phi_{2}=\frac{w_{3}}{\|w_{3}\|}=\left(t^{2}-\frac{1}{3}\right)\frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}.
Simplificação prática (forma familiar): multiplicando e reescrevendo em termos do polinômio de Legendre de grau 2, obtém-se a forma mais compacta
\phi_{2}=\sqrt{\frac{5}{8}}\;\bigl(3t^{2}-1\bigr).
(essas duas expressões são equivalentes; é só fatorar 3 e simplificar).

Passo 6

Resumo das funções ortonormais encontradas (por razões didáticas verifique mentalmente que cada uma tem norma 1 e que produtos cruzados são zero — já mostramos os cálculos essenciais: produtos com funções ímpares dão zero, e subtraímos a projeção para t^{2}).
Pequeno incentivo: estas funções são exatamente as primeiras três funções ortonormais (normalizadas) associadas aos polinômios de Legendre em [-1,1]. Se você lembrar da forma padrão, fica mais fácil reconhecer o resultado na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}
\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}\,t
\displaystyle \sqrt{\frac{5}{8}}\,(3t^{2}-1)

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