Considere o conjunto de polinômios
definido no intervalo
. Usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto de polinômios
definido no intervalo
. A tarefa é obter, pelo processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal a partir desses polinômios, isto é, três funções
tais que:
- cada
é uma combinação linear de ; -
para e .
Vou usar o produto interno usual em
, que é o mais natural aqui:
Passo 2
Breve explicação do método (Gram–Schmidt) e fórmulas que serão usadas, de forma bem prática.
Gram–Schmidt transforma uma família linearmente independente
numa família ortogonal
por:
onde a projeção é
Depois obtemos a família ortonormal
normalizando:
Vamos aplicar isso com
,
,
. Em cada passo eu explico o cálculo dos produtos internos (integrais) e porque certos termos são zero (simetria/paridade).
Passo 3
Ortogonalizar e normalizar
.
Calcular a norma ao quadrado:
Logo
. A primeira função ortonormal é
Comentário pedagógico: a razão é simples — a integral da constante 1 sobre
dá a medida do intervalo, que é 2; dividir por
garante norma 1.
Passo 4
Ortogonalizar e normalizar
em relação a
.
Primeiro o produto interno entre
e
:
A integral
é zero porque
é função ímpar e o intervalo é simétrico. Portanto
Isto significa que
já é ortogonal a
(boa notícia!).
Calcular a norma de
:
Então
. A segunda função ortonormal é
Dica prática: sempre cheque a paridade (par/ímpar) das funções antes de integrar — muitas vezes economiza trabalho porque produtos com uma função ímpar sobre intervalo simétrico valem zero.
Passo 5
Ortogonalizar
em relação a
e
(que neste caso é
).
Calcular
:
Calcular
:
A integral
é zero (função ímpar). Portanto
.
Assim a única projeção não nula é sobre
. A componente ortogonal de
é
Substituindo os valores:
Portanto
Explicação: este é o passo clássico — subtrai-se a média (no sentido do produto interno) da função
para torná‑la ortogonal à constante.
Agora normalizar
. Primeiro calculamos a norma ao quadrado:
Expandindo e integrando termo a termo:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Logo
A função ortonormal
é
Simplificação prática (forma familiar): multiplicando e reescrevendo em termos do polinômio de Legendre de grau 2, obtém-se a forma mais compacta
(essas duas expressões são equivalentes; é só fatorar
e simplificar).
Passo 6
Resumo das funções ortonormais encontradas (por razões didáticas verifique mentalmente que cada uma tem norma
e que produtos cruzados são zero — já mostramos os cálculos essenciais: produtos com funções ímpares dão zero, e subtraímos a projeção para
).
Pequeno incentivo: estas funções são exatamente as primeiras três funções ortonormais (normalizadas) associadas aos polinômios de Legendre em
. Se você lembrar da forma padrão, fica mais fácil reconhecer o resultado na prova.