Encontre a matriz de coordenadas de w relativa à base ortonormal B :
\begin{gathered}w=(4,-3) \B=\left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right),\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right\}\end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • O vetor w=(4,-3).
  • A base ortonormal B=\left\{\;b_1=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right),\;b_2=\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\;\right\}.
O que é pedido:
  • Encontrar a matriz de coordenadas de w relativa à base B, ou seja, encontrar os escalares c_1 e c_2 tais que
w = c_1 b_1 + c_2 b_2,
e escrever o vetor coluna [w]_B=\begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix}.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula e porquê): para uma base ortonormal \{b_1,b_2\} vale a propriedade de projeção:
c_i = w\cdot b_i\qquad (i=1,2),
onde \cdot é o produto escalar usual em \mathbb{R}^2.
Explicação curta do porquê (útil para a prova): se w=\sum_{i} c_i b_i, fazendo produto escalar com b_j obtemos
w\cdot b_j = \sum_{i} c_i (b_i\cdot b_j).
Como a base é ortonormal, b_i\cdot b_j = 0 para i\neq j e b_j\cdot b_j=1. Assim só sobra c_j. Portanto c_j=w\cdot b_j.

Passo 3

Definição e cálculo do produto escalar em \mathbb{R}^2: para vetores u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2)
u\cdot v = u_1v_1+u_2v_2.
Vamos aplicar isso para obter c_1 e c_2.

Passo 4

Cálculo de c_1:
c_1 = w\cdot b_1 = (4,-3)\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} + (-3)\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}.
Agora simplificando:
c_1 = \frac{4\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}}{3}.
Opcionalmente fatorando \sqrt{3}:
c_1 = \frac{\sqrt{3}\,\bigl(4-3\sqrt{2}\bigr)}{3}.

Passo 5

Cálculo de c_2:
c_2 = w\cdot b_2 = (4,-3)\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 4\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) + (-3)\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}.
Simplificando:
c_2 = -\frac{4\sqrt{6}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{-4\sqrt{6} - 3\sqrt{3}}{3}.
Opcionalmente fatorando \sqrt{3}:
c_2 = -\frac{\sqrt{3}\,\bigl(4\sqrt{2}+3\bigr)}{3}.

Passo 6

Escrevendo a matriz (vetor coluna) de coordenadas de w na base B:
[w]_B=\begin{pmatrix} c_1\\[6pt] c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{3}\\[8pt] \dfrac{-4\sqrt{6}-3\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

[w]_B=\begin{pmatrix} \dfrac{4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{3}\\[8pt] \dfrac{-4\sqrt{6}-3\sqrt{3}}{3} \end{pmatrix}]

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