Encontre a matriz de coordenadas de
relativa à base ortonormal
:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- O vetor
. - A base ortonormal
.
O que é pedido:
- Encontrar a matriz de coordenadas de
relativa à base , ou seja, encontrar os escalares e tais que
e escrever o vetor coluna
.
Passo 2
Lembrete importante (fórmula e porquê): para uma base ortonormal
vale a propriedade de projeção:
onde
é o produto escalar usual em
.
Explicação curta do porquê (útil para a prova): se
, fazendo produto escalar com
obtemos
Como a base é ortonormal,
para
e
. Assim só sobra
. Portanto
.
Passo 3
Definição e cálculo do produto escalar em
: para vetores
e
Vamos aplicar isso para obter
e
.
Passo 4
Cálculo de
:
Agora simplificando:
Opcionalmente fatorando
:
Passo 5
Cálculo de
:
Simplificando:
Opcionalmente fatorando
:
Passo 6
Escrevendo a matriz (vetor coluna) de coordenadas de
na base
: