Encontre a matriz de coordenadas de w relativa à base ortonormal B :
\begin{gathered}w=(2,-2,1) \B=\left\{\left(\frac{\sqrt{10}}{10}, \frac{3 \sqrt{10}}{10}, 0\right),(0,1,0),\left(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, 0, \frac{\sqrt{10}}{10}\right)\right\}\end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Vetor dado: w=(2,-2,1).
  • Base ortonormal B com os vetores v_1=\left(\frac{\sqrt{10}}{10},\frac{3\sqrt{10}}{10},0\right),\quad v_2=(0,1,0),\quad v_3=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},0,\frac{\sqrt{10}}{10}\right).
  • Pedido: encontrar a matriz de coordenadas de w relativa à base B. Ou seja, achar as componentes (c_1,c_2,c_3) tais que w = c_1 v_1 + c_2 v_2 + c_3 v_3.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Quando a base é ortonormal, as coordenadas de um vetor w nessa base são simplesmente os produtos internos (produto escalar) de w com cada vetor da base: c_i = v_i\cdot w\quad\text{para }i=1,2,3.
  • Definição do produto escalar em \mathbb{R}^3: se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.Aqui cada termo é a multiplicação das componentes correspondentes e depois somamos. Como a base é ortonormal, esse cálculo fornece justamente a projeção de w em cada vetor da base — e essa projeção é a coordenada correspondente.

Passo 3

Calcular c_1 = v_1\cdot w.
  • Escrevendo os produtos das componentes: c_1 = \frac{\sqrt{10}}{10}\cdot 2 + \frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot(-2) + 0\cdot 1.
  • Calculando cada termo: \frac{\sqrt{10}}{10}\cdot 2 = \frac{2\sqrt{10}}{10},\qquad \frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot(-2)= -\frac{6\sqrt{10}}{10}.
  • Somando: c_1 = \frac{2\sqrt{10}}{10} - \frac{6\sqrt{10}}{10} = -\frac{4\sqrt{10}}{10}.
  • Simplificando a fração: c_1 = -\frac{2\sqrt{10}}{5}.

Passo 4

Calcular c_2 = v_2\cdot w.
  • Produto das componentes: c_2 = 0\cdot 2 + 1\cdot(-2) + 0\cdot 1 = -2.

Passo 5

Calcular c_3 = v_3\cdot w.
  • Produto das componentes: c_3 = \frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot 2 + 0\cdot(-2) + \frac{\sqrt{10}}{10}\cdot 1.
  • Calculando cada termo: \frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot 2 = \frac{6\sqrt{10}}{10},\qquad \frac{\sqrt{10}}{10}\cdot 1 = \frac{\sqrt{10}}{10}.
  • Somando: c_3 = \frac{6\sqrt{10}}{10} + \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{7\sqrt{10}}{10}.

Passo 6

Montar a matriz (vetor coluna) de coordenadas de w relativa à base B.
  • As coordenadas são c_1,c_2,c_3 calculadas nos passos anteriores, portanto a matriz de coordenadas (vetor coluna) é \begin{pmatrix} -\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \\[6pt] -2 \\[6pt] \dfrac{7\sqrt{10}}{10} \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} -\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \\[6pt] -2 \\[6pt] \dfrac{7\sqrt{10}}{10} \end{pmatrix}]

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