Encontre a matriz de coordenadas de
relativa à base ortonormal
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Vetor dado:
. - Base ortonormal
com os vetores - Pedido: encontrar a matriz de coordenadas de
relativa à base . Ou seja, achar as componentes tais que
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicado passo a passo).
- Quando a base é ortonormal, as coordenadas de um vetor
nessa base são simplesmente os produtos internos (produto escalar) de com cada vetor da base: - Definição do produto escalar em
: se e , então Aqui cada termo é a multiplicação das componentes correspondentes e depois somamos. Como a base é ortonormal, esse cálculo fornece justamente a projeção de em cada vetor da base — e essa projeção é a coordenada correspondente.
Passo 3
Calcular
.
- Escrevendo os produtos das componentes:
- Calculando cada termo:
- Somando:
- Simplificando a fração:
Passo 4
Calcular
.
- Produto das componentes:
Passo 5
Calcular
.
- Produto das componentes:
- Calculando cada termo:
- Somando:
Passo 6
Montar a matriz (vetor coluna) de coordenadas de
relativa à base
.
- As coordenadas são
calculadas nos passos anteriores, portanto a matriz de coordenadas (vetor coluna) é ]