Considere o conjunto S de todos os números reais x in [0,1] que tem uma expansão decimal da forma
x = 0, d1 d2 d3 ... dn ...
onde todos os dígitos di então no conjunto {0, 2, 3, 4, 6, 7, 9}. Indique a afirmação falsa.
© Se A é um aberto de R tal que A ∩ S ≠ ∅, então A ∩ S é não enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um conjunto de números reais entre 0 e 1 que têm uma expansão decimal usando apenas os dígitos 0, 2, 3, 4, 6, 7 e 9. O item © afirma que, se é um conjunto aberto na reta real e tem pelo menos um elemento em comum com , então a interseção não é enumerável, ou seja, é infinita de uma forma específica. Vamos verificar se essa afirmação é falsa ou verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto aberto na reta real. Um conjunto é aberto se, para todo ponto em , existe um intervalo ao redor de que também está totalmente dentro de . Isso basicamente significa que não tem “pontas” ou “limites” fechados.

Passo 3

Agora, vamos pensar no conjunto . Esse conjunto inclui todos os números entre 0 e 1 que, na sua expansão decimal, utilizam apenas os dígitos 0, 2, 3, 4, 6, 7 e 9. Importante notar que, como há infinitas posições decimais, existem muitas combinações possíveis, o que sugere que é um conjunto incontável.

Passo 4

A afirmação diz que se é aberto e tem pelo menos um número de dentro dele, então a interseção é não enumerável. Para analisar isso, precisamos lembrar que é denso em [0,1], ou seja, entre quaisquer dois números de [0,1], existe pelo menos um número de .

Passo 5

Porém, ser denso e ter uma interseção não enumerável depende das propriedades específicas de . Embora seja grande no sentido de ter muitos elementos, nem todo conjunto aberto garantirá que seja não enumerável. Dependendo de como está posicionado, pode ser finito ou mesmo vazio, apesar de ser aberto.

Passo 6

Isso significa que a afirmação do item © nem sempre é verdadeira. Existem casos onde pode ser enumerável ou até vazio, mesmo que seja aberto e exista pelo menos um elemento comum com .

Resposta

A afirmação é falsa.

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