Determine todos os valores de
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os valores de
que satisfazem a equação
. Isso envolve trabalhar com números complexos e a função exponencial. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e a definição do logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o número
na forma polar. Um número complexo na forma polar é dado por
, onde
é o módulo (ou seja, a distância do número até a origem no plano complexo) e
é o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo).
No caso de
, temos:
- O módulo
(porque ). - O argumento
radianos (já que está na direção oposta ao eixo real positivo).
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, queremos resolver
. Para encontrar
, usamos a definição do logaritmo complexo. O logaritmo de um número complexo
é dado por:
onde
é qualquer número inteiro, já que o ângulo pode ser aumentado ou diminuído de
sem mudar a posição do número no plano complexo.
Aplicando isso à nossa equação:
Simplificando um pouco, fica:
Resposta
Todos os valores de
que satisfazem
são da forma:
onde
é qualquer número inteiro (
).