Determine todos os valores de z tais que e^z = -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar todos os valores de que satisfazem a equação . Isso envolve trabalhar com números complexos e a função exponencial. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e a definição do logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o número na forma polar. Um número complexo na forma polar é dado por , onde é o módulo (ou seja, a distância do número até a origem no plano complexo) e é o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo).
No caso de , temos:
  • O módulo (porque ).
  • O argumento radianos (já que está na direção oposta ao eixo real positivo).
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, queremos resolver . Para encontrar , usamos a definição do logaritmo complexo. O logaritmo de um número complexo é dado por:
onde é qualquer número inteiro, já que o ângulo pode ser aumentado ou diminuído de sem mudar a posição do número no plano complexo.
Aplicando isso à nossa equação:
Simplificando um pouco, fica:

Resposta

Todos os valores de que satisfazem são da forma:
onde é qualquer número inteiro ( ).

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