Use as equações de Cauchy-Riemann juntamente com o Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 para mostrar que
e sua derivada
existem em todos os pontos, e ache
e
utilizando uma das igualdades
, ou uma das igualdades de sua versão polar
, quando:
e, neste caso, exiba uma expressão para a
-ésima derivada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as equações de Cauchy-Riemann e alguns corolários para mostrar que as derivadas
e
existem em todos os pontos da função
. Depois, temos que encontrar essas derivadas usando uma das fórmulas disponíveis e, por fim, dar uma expressão geral para a
-ésima derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes real e imaginária. Temos:
onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar as equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que a função seja diferenciável em um ponto. As equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
Como ambas as equações são verdadeiras, isso significa que
é diferenciável em todos os pontos onde as derivadas existem, ou seja, em todo o plano complexo.
Passo 5
Com isso, pelo Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 (dependendo do livro), sabemos que se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas, então
é analítica, ou seja, possui derivadas de todas as ordens.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
usando uma das igualdades fornecidas. Vamos usar:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 7
Para encontrar a segunda derivada
, derivamos
em relação a
. Vamos aplicar a mesma fórmula:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 8
Para generalizar para a
-ésima derivada
, observamos o padrão das derivadas:
Percebemos que a cada derivada, há uma rotação de
no sentido anti-horário nos coeficientes reais e imaginários. Assim, a
-ésima derivada pode ser expressa como:
Resposta
A
-ésima derivada de
é: