Use as equações de Cauchy-Riemann juntamente com o Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 para mostrar que f^prime(z) e sua derivada f^prime prime(z) existem em todos os pontos, e ache f^prime(z) e f^prime prime(z) utilizando uma das igualdades f^prime(z)= partial upartial x+partial vpartial x i=partial vpartial y-partial upartial y i, ou uma das igualdades de sua versão polar f^prime(z)=(partial upartial r+i partial vpartial r) e^-i theta=(partial vpartial theta-i partial upartial theta) e^-i thetar, r neq 0, quando: f(z)=cos x cosh y-i sin x sinh y e, neste caso, exiba uma expressão para a n-ésima derivada f^(n)(z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as equações de Cauchy-Riemann e alguns corolários para mostrar que as derivadas e existem em todos os pontos da função . Depois, temos que encontrar essas derivadas usando uma das fórmulas disponíveis e, por fim, dar uma expressão geral para a -ésima derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(z) = u(x, y) + i v(x, y) em termos das partes real e imaginária. Temos:
u(x, y) = cos x cosh y
onde:
v(x, y) = -sin x sinh y

Passo 3

Agora, vamos verificar as equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que a função seja diferenciável em um ponto. As equações são:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial upartial x = -sin x cosh y
partial upartial y = cos x sinh y
partial vpartial x = -cos x sinh y
partial vpartial y = -sin x cosh y

Passo 4

Vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
partial upartial x = -sin x cosh y = partial vpartial y
partial upartial y = cos x sinh y = -partial vpartial x = cos x sinh y
Como ambas as equações são verdadeiras, isso significa que é diferenciável em todos os pontos onde as derivadas existem, ou seja, em todo o plano complexo.

Passo 5

Com isso, pelo Corolário 3.5.3 ou 3.5.5 (dependendo do livro), sabemos que se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas e as derivadas parciais são contínuas, então é analítica, ou seja, possui derivadas de todas as ordens.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a primeira derivada f'(z) = partial upartial x + i partial vpartial x usando uma das igualdades fornecidas. Vamos usar:
f'(z) = (-sin x cosh y) + i (-cos x sinh y)
Substituindo as derivadas que calculamos:
f'(z) = -sin x cosh y - i cos x sinh y

Passo 7

Para encontrar a segunda derivada f''(z) = partialpartial x ( -sin x cosh y ) + i partialpartial x ( -cos x sinh y ) , derivamos partialpartial x ( -sin x cosh y ) = -cos x cosh y em relação a partialpartial x ( -cos x sinh y ) = sin x sinh y . Vamos aplicar a mesma fórmula:
f''(z) = -cos x cosh y + i sin x sinh y
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 8

Para generalizar para a f(z) = cos x cosh y - i sin x sinh y -ésima derivada f'(z) = -sin x cosh y - i cos x sinh y , observamos o padrão das derivadas:
f''(z) = -cos x cosh y + i sin x sinh y
f'''(z) = sin x cosh y - i cos x sinh y
f^(4)(z) = cos x cosh y + i sin x sinh y
vdots
f^(n)(z) = cos ( x + n pi2 ) cosh y - i sin ( x + n pi2 ) sinh y
Percebemos que a cada derivada, há uma rotação de no sentido anti-horário nos coeficientes reais e imaginários. Assim, a -ésima derivada pode ser expressa como:

Resposta

A f^(n)(z) = cos ( x + n pi2 ) cosh y - i sin ( x + n pi2 ) sinh y -ésima derivada de é:

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