Seja R o conjunto dos números reais. Defina a soma e a multiplicação por escalar por x oplus y=x-y e k odot x=k x, respectivamente. Verifique se R é ou não um espaço vetorial em relação a essas operações.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre espaços vetoriais, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. O enunciado nos pede para verificar se o conjunto dos números reais, , com uma soma definida como e uma multiplicação por escalar definida como , forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender e verificar as axiomas de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde você pode realizar duas operações: soma de vetores e multiplicação por escalares (números reais, no nosso caso). Para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial, essas operações devem satisfazer determinadas axiomas. Vamos listar e verificar cada um deles.

Passo 3

Axioma 1: Fechamento pela soma
Para quaisquer , a soma também deve estar em . Como a subtração de números reais sempre resulta em um número real, este axioma está satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Fechamento pela multiplicação por escalar
Para qualquer escalar e qualquer vetor , a multiplicação deve estar em . A multiplicação de dois números reais resulta em um número real, portanto, este axioma também está satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Comutatividade da soma
Para quaisquer x oplus y = x - y e y oplus x = y - x , deve valer que . Vamos verificar:
Claramente, a menos que . Portanto, a comutatividade não é satisfeita.

Passo 6

Como já encontramos um axioma que não é satisfeito, não é necessário verificar os demais. Um espaço vetorial precisa que todos os axiomas sejam válidos. Se qualquer um deles falhar, o conjunto não é um espaço vetorial.

Resposta

com as operações e não é um espaço vetorial, pois não satisfaz o axioma de comutatividade da soma.

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