Considere o conjunto Y=(1,2) cup0,3,4 cup1n ; n in N. Encontre int Y e barY. Além disso diga se Y é aberto, fechado ou nem aberto nem fechado. Justifique.

Passo 1

O enunciado define
Y = (1,2);cup;0,3,4;cup;ltfrac1n:ninNr
e pede o interior int,Y, o fecho overline Y e a classificação de Y (aberto, fechado ou nenhum). Vamos usar as definições padrão em R com topologia usual.

Passo 2

Para achar int,Y, lembramos que é o maior subconjunto aberto contido em Y.
  • Se xin(1,2), podemos escolher varepsilon>0 pequeno tal que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset(1,2)subset Y.
  • Se x é qualquer outro ponto de Y (isto é, x=0, x=3, x=4 ou x=1/n), qualquer intervalo aberto em torno de x conterá pontos de R que não estão em Y, pois esses pontos são isolados em Y.
    Logo
int,Y = (1,2)

Passo 3

Para achar o fecho overline Y, precisamos incluir todos os pontos de Y mais seus pontos de acumulação.
  • A única sequência de Y que acumula num ponto fora de Y é a sequência tfrac1nto0, mas 0in Y já está.
  • O intervalo (1,2) tem pontos de acumulação em 1 e em 2. O ponto 1 já pertence a Y tfrac11), mas 2notin Y.
  • Não há outras acumulações não previstas.
    Portanto
overline Y = Y;cup;2

Passo 4

  • Y não é aberto, pois, por exemplo, 0in Y não tem nenhum intervalo em torno dele contido em Y.
  • Y não é fechado, pois seu fecho exige acrescentar 2notin Y.
    Logo Y é nem aberto nem fechado.

Resposta

int,Y=(1,2)
overline Y=Ycup2
Y é nem aberto nem fechado.

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