Considere o conjunto . Encontre int e . Além disso diga se é aberto, fechado ou nem aberto nem fechado. Justifique.
Passo 1
O enunciado define
e pede o interior , o fecho e a classificação de Y (aberto, fechado ou nenhum). Vamos usar as definições padrão em R com topologia usual.
Passo 2
Para achar int,Y, lembramos que é o maior subconjunto aberto contido em Y.
Se xin(1,2), podemos escolher varepsilon>0 pequeno tal que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset(1,2)subset Y.
Se x é qualquer outro ponto de Y (isto é, x=0, x=3, x=4 ou x=1/n), qualquer intervalo aberto em torno de x conterá pontos de R que não estão em Y, pois esses pontos são isolados em Y.
Logo
int,Y = (1,2)
Passo 3
Para achar o fecho overline Y, precisamos incluir todos os pontos de Y mais seus pontos de acumulação.
A única sequência de Y que acumula num ponto fora de Y é a sequência tfrac1nto0, mas 0in Y já está.
O intervalo (1,2) tem pontos de acumulação em 1 e em 2. O ponto 1 já pertence a Y (é tfrac11), mas 2notin Y.
Não há outras acumulações não previstas.
Portanto
overline Y = Y;cup;2
Passo 4
Ynão é aberto, pois, por exemplo, 0in Y não tem nenhum intervalo em torno dele contido em Y.
Ynão é fechado, pois seu fecho exige acrescentar 2notin Y.
Logo Y é nem aberto nem fechado.
Resposta
int,Y=(1,2) overline Y=Ycup2 Y é nem aberto nem fechado.