(1, 5) Encontre um intervalo de tamanho 0,5 que contenha uma raíz da equação 2^-x=x.
Sol.: Seja f(x)=2^-x-x. Então, f(0)=1>0, f(1)=-12<0 e f é contínua em R. Temos ainda que f(12)=1raiz2-12=raiz2-12>0. Pelo T.V.I temos que exite x0 in(12, 1) tal que f(x0)=0. Este x0 é tal que 2^-x0=x0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um intervalo de comprimento 0,5 que contenha uma raiz da equação
2^-x=x
O conteúdo principal é a aplicação do Teorema do Valor Intermediário, que exige uma função contínua e sinais opostos em dois pontos.

Passo 2

Definimos
f(x)=2^-x-x
Note que 2^-x é contínua em R e x também é contínua, logo f é contínua em R.

Passo 3

Calculamos f em dois pontos distantes 0,5:
fl(tfrac12r)=2^-1/2-tfrac12=1raiz2-12 =raiz2-12>0,
f(1)=2^-1-1=tfrac12-1=-tfrac12<0

Passo 4

Como f é contínua e f(tfrac12)>0 enquanto f(1)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe x0inl(tfrac12,1r) tal que
f(x0)=0,
ou seja, 2^-x0=x0.

Resposta

Um intervalo de tamanho 0,5 que contém a raiz é l(tfrac12,1r).

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