Derive a seguinte função:
f(x)=ln (3 x+1)x^2-sin (2^x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=ln(3x+1)x^2-sin(2^x)
O conteúdo envolve a regra do quociente, mais aplicação da regra da cadeia para ln(3x+1) e para sin(2^x).

Passo 2

Definimos
g(x)=ln(3x+1), h(x)=x^2-sin(2^x),
e aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)l(h(x)r)^2

Passo 3

Calculamos g'(x). Como
g(x)=ln(3x+1),
pela regra da cadeia temos
g'(x) =13x+1cdot(3) =33x+1

Passo 4

Calculamos h'(x). Como
h(x)=x^2-sin(2^x),
a derivada de x^2 é 2x e, pela cadeia, a de sin(2^x) é
cos(2^x) vezes a derivada de 2^x, que é 2^xln2. Logo
h'(x) =2x-cos(2^x),2^xln2

Passo 5

Substituindo em
f'(x) =g'(x),h(x)-g(x),h'(x)l(h(x)r)^2
temos
f'(x) = 33x+1l(x^2-sin(2^x)r) -ln(3x+1)l(2x-cos(2^x),2^xln2r) l(x^2-sin(2^x)r)^2

Resposta

f'(x) = 33x+1l(x^2-sin(2^x)r) -ln(3x+1)l(2x-cos(2^x),2^xln2r) l(x^2-sin(2^x)r)^2

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