Considere os conjuntos abaixo:
\begin{aligned} F & =\text { conjunto de todos os filósofos } \\\ M & =\text { conjunto de todos os matemáticos } \\\ C & =\text { conjunto de todos os cientistas } \\\ P & =\text { conjunto de todos os professores } \end{aligned}óá
(a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos:
a1) Todos os matemáticos são cientistas.
a2) Alguns matemáticos são cientistas.
a3) Alguns cientistas são filósofos.
a4) Todos os filósofos são cientistas ou professores.
a5) Nem todo professor é cientista.
(b) Faça o mesmo com as afirmativas abaixo:
b1) Alguns matemáticos são filósofos.
b2) Nem todo filósofo é cientista.
b3) Alguns filósofos são professores.
b4) Se um filósofo não é matemático, ele é professor.
b5) Alguns filósofos são matemáticos.
(c) Assumindo por hipótese, que as afirmativas a1), a2), a3), a4) e a5) sejam verdadeiras, verifique quais das afirmativas do item b) são necessariamente verdadeiras.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
  • O enunciado define os conjuntos:
    • F = conjunto de todos os filósofos;
    • M = conjunto de todos os matemáticos;
    • C = conjunto de todos os cientistas;
    • P = conjunto de todos os professores.
  • Parte (a): expressar em linguagem de conjuntos as afirmativas a1 a a5.
  • Parte (b): expressar em linguagem de conjuntos as afirmativas b1 a b5.
  • Parte (c): supondo que as afirmativas a1 a5 sejam verdadeiras, verificar quais das afirmativas b1 b5 são necessariamente verdadeiras (ou seja, logicamente implicadas por a1 a5).
As informações dadas são apenas os nomes dos conjuntos e as listas de frases a serem traduzidas/avaliadas; nada mais é assumido além dessas frases.

Passo 2

Tradução e explicação das afirmativas do item (a). Vou escrever a fórmula em linguagem de conjuntos e explicar cada símbolo usado.
  • Notação que vou usar:
    • X\subseteq Y significa “todo elemento de X está em Y” (isto é, X é subconjunto de Y).
    • X\cap Y é a interseção de X e Y: os elementos que pertencem simultaneamente a X e a Y.
    • X\cup Y é a união de X e Y: os elementos que pertencem a X ou a Y (ou a ambos).
    • X\neq\varnothing significa “ X não é vazio”, ou seja, existe pelo menos um elemento em X.
    • X\setminus Y são os elementos de X que não estão em Y.
Agora as traduções:
  • a1) “Todos os matemáticos são cientistas.”
    • Tradução: M\subseteq C.
    • Explicação: para cada pessoa x, se x\in M então x\in C.
  • a2) “Alguns matemáticos são cientistas.”
    • Tradução: M\cap C\neq\varnothing.
    • Explicação: existe pelo menos uma pessoa que é simultaneamente matemático e cientista.
  • a3) “Alguns cientistas são filósofos.”
    • Tradução: C\cap F\neq\varnothing.
    • Explicação: existe pelo menos uma pessoa que é simultaneamente cientista e filósofo.
  • a4) “Todos os filósofos são cientistas ou professores.”
    • Tradução: F\subseteq C\cup P.
    • Explicação: para cada x\in F, x pertence a C ou a P (ou a ambos).
  • a5) “Nem todo professor é cientista.”
    • Tradução: P\not\subseteq C.
    • Equivalente: P\setminus C\neq\varnothing.
    • Explicação: existe pelo menos um professor que não é cientista.

Passo 3

Tradução e explicação das afirmativas do item (b).
  • b1) “Alguns matemáticos são filósofos.”
    • Tradução: M\cap F\neq\varnothing.
  • b2) “Nem todo filósofo é cientista.”
    • Tradução: F\not\subseteq C.
    • Equivalente: F\setminus C\neq\varnothing.
  • b3) “Alguns filósofos são professores.”
    • Tradução: F\cap P\neq\varnothing.
  • b4) “Se um filósofo não é matemático, ele é professor.”
    • Tradução: F\cap M^{c}\subseteq P.
    • Observação: M^{c} é o complemento de M em relação ao universo (todas as pessoas consideradas). A leitura: todo elemento que é filósofo e não é matemático pertence a P.
  • b5) “Alguns filósofos são matemáticos.”
    • Tradução: F\cap M\neq\varnothing.
    • Observação: essa é a mesma tradução de b1 trocando a ordem; é equivalente a b1.

Passo 4

Consequências imediatas das hipóteses a1 a5. Vou listar o que podemos deduzir direto das expressões de (a):
  • De a1) M\subseteq C.
  • De a2) M\cap C\neq\varnothing. Mas, como M\subseteq C, isso implica simplesmente M\neq\varnothing (existem matemáticos).
  • De a3) C\cap F\neq\varnothing: existem pessoas que são ao mesmo tempo cientistas e filósofos.
  • De a4) F\subseteq C\cup P: todo filósofo é ou cientista ou professor (ou ambos).
  • De a5) P\setminus C\neq\varnothing: existe pelo menos um professor que não é cientista.
Essas são todas as informações dedutíveis diretamente; não há, entre a1 a5, uma afirmação que force que M e F tenham interseção, nem que F\cap P seja não vazio, etc. Vou agora testar cada afirmativa de (b) para ver se segue necessariamente das a-afirmações.

Passo 5

Análise de cada afirmativa b1 b5 sob as hipóteses a1 a5. Para cada uma digo se é necessariamente verdadeira e, se não for, apresento um contraexemplo concreto (um modelo com conjuntos finitos) que satisfaz a1 a5 mas viola a afirmativa b. Construir contraexemplos é a maneira padrão de mostrar que algo não é logicamente implicado.
Vou usar um contraexemplo único e simples que mostra que todas as afirmativas b1 b5 podem falhar simultaneamente, então nenhuma delas é forçada pelas a-afirmações.
Defino o universo de pessoas U=\{1,2,3\} e os conjuntos:
M=\{1\},\qquad C=\{1,2\},\qquad F=\{2\},\qquad P=\{3\}.
Verifico as a-condições:
  • a1) M\subseteq C: \{1\}\subseteq\{1,2\} — verdadeiro.
  • a2) M\cap C\neq\varnothing: \{1\}\cap\{1,2\}=\{1\}\neq\varnothing — verdadeiro.
  • a3) C\cap F\neq\varnothing: \{1,2\}\cap\{2\}=\{2\}\neq\varnothing — verdadeiro.
  • a4) F\subseteq C\cup P: C\cup P=\{1,2,3\}, e F=\{2\}\subseteq\{1,2,3\} — verdadeiro.
  • a5) P\not\subseteq C: P=\{3\} e 3\notin C, então P\not\subseteq C — verdadeiro.
Logo esse modelo satisfaz todas as hipóteses a1 a5. Agora verifico as afirmações b:
  • b1) M\cap F\neq\varnothing? Aqui \{1\}\cap\{2\}=\varnothing. Portanto b1 é falsa no modelo — ou seja, não é necessariamente verdadeira dado a1 a5.
  • b2) F\not\subseteq C? Aqui F=\{2\}\subseteq C=\{1,2\}, então b2 é falsa no modelo — logo b2 não é necessariamente verdadeira.
  • b3) F\cap P\neq\varnothing? \{2\}\cap\{3\}=\varnothing. b3 é falsa no modelo — logo não é necessariamente verdadeira.
  • b4) F\cap M^{c}\subseteq P? Temos M^{c}=\{2,3\} (complemento relativo a U), então F\cap M^{c}=\{2\}. Mas \{2\}\not\subseteq P=\{3\}. Logo b4 é falsa no modelo — não é necessariamente verdadeira.
  • b5) F\cap M\neq\varnothing? Igual a b1: \{2\}\cap\{1\}=\varnothing. b5 é falsa no modelo.
Portanto com esse único contraexemplo vimos que cada afirmativa b1 b5 pode ser falsa mesmo quando a1 a5 são todas verdadeiras. Conclusão: nenhuma das afirmativas de (b) é logicamente implicada por a1 a5.
Se preferir, posso construir outros modelos que mostrem situações diferentes (por exemplo onde alguma das b é verdadeira), mas o que importa aqui é que existe ao menos um modelo que satisfaz a-hipóteses e viola cada b; isso basta para dizer que nenhuma b é necessariamente verdadeira.

Passo 6

Resumo final, simples e direto: as traduções pedidas (recapitulando) e a resposta à pergunta de dependência lógica em (c).
  • Traduções solicitadas (resumo):
    • a1) M\subseteq C.
    • a2) M\cap C\neq\varnothing.
    • a3) C\cap F\neq\varnothing.
    • a4) F\subseteq C\cup P.
    • a5) P\not\subseteq C.
    • b1) M\cap F\neq\varnothing.
    • b2) F\not\subseteq C.
    • b3) F\cap P\neq\varnothing.
    • b4) F\cap M^{c}\subseteq P.
    • b5) F\cap M\neq\varnothing.
  • Sobre (c): nenhuma das afirmativas b1 b5 é necessariamente verdadeira sob as hipóteses a1 a5 (justificativa por contraexemplo explícito fornecido no Passo 5).
Força aí — se quiser, eu mostro outros modelos que satisfazem a1 a5 e onde alguma das b seja verdadeira, para você ver que as b são independentes das a.

Resposta

a1) M\subseteq C
a2) M\cap C\neq\varnothing
a3) C\cap F\neq\varnothing
a4) F\subseteq C\cup P
a5) P\not\subseteq C
b1) M\cap F\neq\varnothing
b2) F\not\subseteq C
b3) F\cap P\neq\varnothing
b4) F\cap M^{c}\subseteq P
b5) F\cap M\neq\varnothing
c) Nenhuma das afirmativas b1, b2, b3, b4 e b5 é necessariamente verdadeira.

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