Considere os conjuntos abaixo:
(a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos:
a1) Todos os matemáticos são cientistas.
a2) Alguns matemáticos são cientistas.
a3) Alguns cientistas são filósofos.
a4) Todos os filósofos são cientistas ou professores.
a5) Nem todo professor é cientista.
(b) Faça o mesmo com as afirmativas abaixo:
b1) Alguns matemáticos são filósofos.
b2) Nem todo filósofo é cientista.
b3) Alguns filósofos são professores.
b4) Se um filósofo não é matemático, ele é professor.
b5) Alguns filósofos são matemáticos.
(c) Assumindo por hipótese, que as afirmativas a1), a2), a3), a4) e a5) sejam verdadeiras, verifique quais das afirmativas do item b) são necessariamente verdadeiras.
a1) Todos os matemáticos são cientistas.
a2) Alguns matemáticos são cientistas.
a3) Alguns cientistas são filósofos.
a4) Todos os filósofos são cientistas ou professores.
a5) Nem todo professor é cientista.
(b) Faça o mesmo com as afirmativas abaixo:
b1) Alguns matemáticos são filósofos.
b2) Nem todo filósofo é cientista.
b3) Alguns filósofos são professores.
b4) Se um filósofo não é matemático, ele é professor.
b5) Alguns filósofos são matemáticos.
(c) Assumindo por hipótese, que as afirmativas a1), a2), a3), a4) e a5) sejam verdadeiras, verifique quais das afirmativas do item b) são necessariamente verdadeiras.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são as informações fornecidas.
-
O enunciado define os conjuntos:
-
= conjunto de todos os filósofos; -
= conjunto de todos os matemáticos; -
= conjunto de todos os cientistas; -
= conjunto de todos os professores.
-
-
Parte (a): expressar em linguagem de conjuntos as afirmativas
a . -
Parte (b): expressar em linguagem de conjuntos as afirmativas
a . -
Parte (c): supondo que as afirmativas
– sejam verdadeiras, verificar quais das afirmativas – são necessariamente verdadeiras (ou seja, logicamente implicadas por – ).
As informações dadas são apenas os nomes dos conjuntos e as listas de frases a serem traduzidas/avaliadas; nada mais é assumido além dessas frases.
Passo 2
Tradução e explicação das afirmativas do item (a). Vou escrever a fórmula em linguagem de conjuntos e explicar cada símbolo usado.
- Notação que vou usar:
-
significa “todo elemento de está em ” (isto é, é subconjunto de ). -
é a interseção de e : os elementos que pertencem simultaneamente a e a . -
é a união de e : os elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). -
significa “ não é vazio”, ou seja, existe pelo menos um elemento em . -
são os elementos de que não estão em .
-
Agora as traduções:
-
a1) “Todos os matemáticos são cientistas.”
- Tradução:
. - Explicação: para cada pessoa
, se então .
- Tradução:
-
a2) “Alguns matemáticos são cientistas.”
- Tradução:
. - Explicação: existe pelo menos uma pessoa que é simultaneamente matemático e cientista.
- Tradução:
-
a3) “Alguns cientistas são filósofos.”
- Tradução:
. - Explicação: existe pelo menos uma pessoa que é simultaneamente cientista e filósofo.
- Tradução:
-
a4) “Todos os filósofos são cientistas ou professores.”
- Tradução:
. - Explicação: para cada
, pertence a ou a (ou a ambos).
- Tradução:
-
a5) “Nem todo professor é cientista.”
- Tradução:
. - Equivalente:
. - Explicação: existe pelo menos um professor que não é cientista.
- Tradução:
Passo 3
Tradução e explicação das afirmativas do item (b).
-
b1) “Alguns matemáticos são filósofos.”
- Tradução:
.
- Tradução:
-
b2) “Nem todo filósofo é cientista.”
- Tradução:
. - Equivalente:
.
- Tradução:
-
b3) “Alguns filósofos são professores.”
- Tradução:
.
- Tradução:
-
b4) “Se um filósofo não é matemático, ele é professor.”
- Tradução:
. - Observação:
é o complemento de em relação ao universo (todas as pessoas consideradas). A leitura: todo elemento que é filósofo e não é matemático pertence a .
- Tradução:
-
b5) “Alguns filósofos são matemáticos.”
- Tradução:
. - Observação: essa é a mesma tradução de
trocando a ordem; é equivalente a .
- Tradução:
Passo 4
Consequências imediatas das hipóteses
–
. Vou listar o que podemos deduzir direto das expressões de (a):
- De a1)
. - De a2)
. Mas, como , isso implica simplesmente (existem matemáticos). - De a3)
: existem pessoas que são ao mesmo tempo cientistas e filósofos. - De a4)
: todo filósofo é ou cientista ou professor (ou ambos). - De a5)
: existe pelo menos um professor que não é cientista.
Essas são todas as informações dedutíveis diretamente; não há, entre
–
, uma afirmação que force que
e
tenham interseção, nem que
seja não vazio, etc. Vou agora testar cada afirmativa de (b) para ver se segue necessariamente das
-afirmações.
Passo 5
Análise de cada afirmativa
–
sob as hipóteses
–
. Para cada uma digo se é necessariamente verdadeira e, se não for, apresento um contraexemplo concreto (um modelo com conjuntos finitos) que satisfaz
–
mas viola a afirmativa
. Construir contraexemplos é a maneira padrão de mostrar que algo não é logicamente implicado.
Vou usar um contraexemplo único e simples que mostra que todas as afirmativas
–
podem falhar simultaneamente, então nenhuma delas é forçada pelas
-afirmações.
Defino o universo de pessoas
e os conjuntos:
Verifico as
-condições:
- a1)
: — verdadeiro. - a2)
: — verdadeiro. - a3)
: — verdadeiro. - a4)
: , e — verdadeiro. - a5)
: e , então — verdadeiro.
Logo esse modelo satisfaz todas as hipóteses
–
. Agora verifico as afirmações
:
-
b1)
? Aqui . Portanto b1 é falsa no modelo — ou seja, não é necessariamente verdadeira dado – . -
b2)
? Aqui , então b2 é falsa no modelo — logo b2 não é necessariamente verdadeira. -
b3)
? . b3 é falsa no modelo — logo não é necessariamente verdadeira. -
b4)
? Temos (complemento relativo a ), então . Mas . Logo b4 é falsa no modelo — não é necessariamente verdadeira. -
b5)
? Igual a b1: . b5 é falsa no modelo.
Portanto com esse único contraexemplo vimos que cada afirmativa
–
pode ser falsa mesmo quando
–
são todas verdadeiras. Conclusão: nenhuma das afirmativas de (b) é logicamente implicada por
–
.
Se preferir, posso construir outros modelos que mostrem situações diferentes (por exemplo onde alguma das
é verdadeira), mas o que importa aqui é que existe ao menos um modelo que satisfaz
-hipóteses e viola cada
; isso basta para dizer que nenhuma
é necessariamente verdadeira.
Passo 6
Resumo final, simples e direto: as traduções pedidas (recapitulando) e a resposta à pergunta de dependência lógica em (c).
-
Traduções solicitadas (resumo):
- a1)
. - a2)
. - a3)
. - a4)
. - a5)
. - b1)
. - b2)
. - b3)
. - b4)
. - b5)
.
- a1)
-
Sobre (c): nenhuma das afirmativas
– é necessariamente verdadeira sob as hipóteses – (justificativa por contraexemplo explícito fornecido no Passo 5).
Força aí — se quiser, eu mostro outros modelos que satisfazem
–
e onde alguma das
seja verdadeira, para você ver que as
são independentes das
.
Resposta
a1)
a2)
a3)
a4)
a5)
a2)
a3)
a4)
a5)
b1)
b2)
b3)
b4)
b5)
b2)
b3)
b4)
b5)
c) Nenhuma das afirmativas
,
,
,
e
é necessariamente verdadeira.