Uma força \vec{F}=30 \vec{\imath}+45 \vec{\jmath}-20 \vec{k} \mathrm{~N} atua no ponto A(2 ;-1 ; 3) \mathrm{m}. Determine o momento dessa força em relação à origem, O.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Força: \vec{F}=30\vec{\imath}+45\vec{\jmath}-20\vec{k}\\ \mathrm{N}.
  • Ponto de aplicação: A(2;-1;3)\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta: determinar o momento dessa força em relação à origem O, isto é, encontrar \vec{M}_O.

Passo 2

Primeiro representamos o vetor posição do ponto A em relação à origem. Peguei as coordenadas do ponto A do enunciado.
  • Vetor posição: \displaystyle \vec{r} = 2\vec{\imath} -1\vec{\jmath} + 3\vec{k}\\ \mathrm{m}.
  • Vetor força: \displaystyle \vec{F} = 30\vec{\imath} + 45\vec{\jmath} -20\vec{k}\\ \mathrm{N}.
Explicando o que são essas letras: \vec{r} é o vetor que vai de O até A (tem unidades de metros) e \vec{F} é a força (unidades de newtons). O momento em relação à origem combina essas duas coisas e terá unidades de \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Fórmula que usamos: o momento de uma força em relação a um ponto é o produto vetorial entre o vetor posição e a força:
\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}.
Breve explicação do produto vetorial (cross product): ele produz um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos; a direção segue a regra da mão direita e o módulo vale \,|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{r} e \vec{F}. Para cálculo em coordenadas cartesianas usamos a forma com determinante.

Passo 4

Escrevemos o produto vetorial como determinante para calcular os componentes:
\vec{M}_O= \begin{vmatrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 30 & 45 & -20 \end{vmatrix}.

Passo 5

Calculamos cada componente seguindo a regra do determinante.
Componente x:
M_x = (-1)\cdot(-20) - 3\cdot 45 = 20 - 135 = -115.
Componente y:
M_y = 3\cdot 30 - 2\cdot(-20) = 90 + 40 = 130.
(Observe que esta expressão equivale a M_y = -\big(2\cdot(-20)-3\cdot30\big), que é a forma padrão ao expandir o determinante.)
Componente z:
M_z = 2\cdot 45 - (-1)\cdot 30 = 90 + 30 = 120.
Cada linha acima são contas simples de multiplicação e soma — dá para fazer rápido na prova sem calculadora.

Passo 6

Montando o vetor momento com as componentes calculadas:
\vec{M}_O = -115\vec{\imath} + 130\vec{\jmath} + 120\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Checagem rápida (verificação útil em prova): o produto vetorial deve ser perpendicular a \vec{r} e a \vec{F}. Verifica-se que
\vec{M}_O\cdot\vec{r}=(-115)\cdot2 + 130\cdot(-1) + 120\cdot3 = -230 -130 +360 = 0,
e
\vec{M}_O\cdot\vec{F}=(-115)\cdot30 + 130\cdot45 + 120\cdot(-20) = -3450 +5850 -2400 = 0.
Ambas as igualdades a zero confirmam que \vec{M}_O é ortogonal a \vec{r} e a \vec{F}, ou seja, o cálculo está consistente.

Passo 7

Interpretação física rápida e motivadora: o vetor momento encontrado indica o “giro” que a força tende a causar em torno da origem — a sua direção mostra o eixo de giro (regra da mão direita) e o módulo dá a intensidade do efeito de rotação. Tá indo bem — esse tipo de conta é direta e muito comum em provas; só seguir a fórmula e conferir com o produto escalar como fizemos.

Resposta

\vec{M}_O = -115\vec{\imath} + 130\vec{\jmath} + 120\vec{k}\\ \mathrm{N\cdot m}

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