Considere os conjuntos S abaixo. Verifique quais são subconjuntos dos respectivos espaços vetoriais V. Considere a, b, c in R :
  • V=R^2 ; S=[la a] ;
  • V=R^3 ; S=[la b c], com a+b+c=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos dois conjuntos dentro de espaços vetoriais diferentes. Nosso objetivo é verificar se esses conjuntos são subconjuntos (ou subespaços) dos respectivos espaços vetoriais . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente como verificar se um conjunto é um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
  2. Fechado para adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado para multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos aplicar essas condições para cada par e que foram fornecidos.

Passo 3

Primeiro Conjunto:
  • Espaço Vetorial: a a
  • Conjunto: 0 0
Verificação:
  1. Vetor Zero:
    O vetor zero em 0 0 é a a . Se b b , então a + b a + b está em a a . OK.
  2. Fechamento para Adição:
    Se temos dois vetores a a e c a c a em , sua soma é , que também está em . OK.
  3. Fechamento para Multiplicação Escalar:
    Se temos em e um escalar , então , que está em . OK.

Passo 4

Segundo Conjunto:
  • Espaço Vetorial: a b c
  • Conjunto: 0 0 0
Verificação:
  1. Vetor Zero:
    O vetor zero em 0 0 0 é a1 b1 c1 . Se a2 b2 c2 , então a1 + a2 b1 + b2 c1 + c2 , então a b c está em k a k b k c . OK.
  2. Fechamento para Adição:
    Se temos dois vetores a b c e em , então e . A soma é , e . Portanto, a soma está em . OK.
  3. Fechamento para Multiplicação Escalar:
    Se temos em e um escalar , então . Multiplicando por , obtemos , e . Portanto, está em . OK.

Resposta

Ambos os conjuntos são subconjuntos (subespaços) dos respectivos espaços vetoriais .

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