Considere os conjuntos abaixo. Verifique quais são subconjuntos dos respectivos espaços vetoriais . Considere :
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos dois conjuntos dentro de espaços vetoriais diferentes. Nosso objetivo é verificar se esses conjuntos são subconjuntos (ou subespaços) dos respectivos espaços vetoriais . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente como verificar se um conjunto é um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
Contém o vetor zero: O vetor zero de está em .
Fechado para adição: Se e estão em , então também está em .
Fechado para multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos aplicar essas condições para cada par e que foram fornecidos.
Passo 3
Primeiro Conjunto:
Espaço Vetorial: a a
Conjunto: 0 0
Verificação:
Vetor Zero:
O vetor zero em 0 0 é a a . Se b b , então a + b a + b está em a a . OK.
Fechamento para Adição:
Se temos dois vetores a a e c a c a em , sua soma é , que também está em . OK.
Fechamento para Multiplicação Escalar:
Se temos em e um escalar , então , que está em . OK.
Passo 4
Segundo Conjunto:
Espaço Vetorial: a b c
Conjunto: 0 0 0
Verificação:
Vetor Zero:
O vetor zero em 0 0 0 é a1 b1 c1 . Se a2 b2 c2 , então a1 + a2 b1 + b2 c1 + c2 , então a b c está em k a k b k c . OK.
Fechamento para Adição:
Se temos dois vetores a b c e em , então e . A soma é , e . Portanto, a soma está em . OK.
Fechamento para Multiplicação Escalar:
Se temos em e um escalar , então . Multiplicando por , obtemos , e . Portanto, está em . OK.
Resposta
Ambos os conjuntos são subconjuntos (subespaços) dos respectivos espaços vetoriais .