Provar que u cdot(v+w)=u cdot v+u cdot w
considere u=(a, b), v=(c, d) e w=(x, y) e faça as contas)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o produto escalar de um vetor u cdot (v + w) = u cdot v + u cdot w com a soma de outros dois vetores e é igual à soma dos produtos escalares de com cada vetor separadamente. Basicamente, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar as definições de produto escalar e soma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como somar dois vetores. Se v + w = (c + x, d + y) e , então a soma deles é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar de u cdot (v + w) = (a, b) cdot (c + x, d + y) = a(c + x) + b(d + y) com a soma a(c + x) + b(d + y) = ac + ax + bd + by :
Expandindo os parênteses:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular separadamente os produtos escalares de u cdot v = (a, b) cdot (c, d) = ac + bd com u cdot w = (a, b) cdot (x, y) = ax + by e de u cdot v + u cdot w = (ac + bd) + (ax + by) = ac + ax + bd + by com :
Somando esses dois resultados:

Resposta

Assim, mostramos que:
u cdot (v + w) = u cdot v + u cdot w
Prova concluída!

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