Considere os conjuntos em Z[x] :
  • A : polinomios com coeficiente independente par
  • B : polinomios com coeficiente independente nulo
  • C : olinomios cuja soma dos coeficientes independente e de x seja zero
Quais são subanéis? E quais são ideais?

Passo 1

O enunciado pede para identificar, dentro de Z[x], quais dos subconjuntos
A=,f(x)=a0 + a1x+cdots+anx^n mid a0 é par, é
B=,f(x)=a0 + a1x+cdots+anx^n mid a0=0,
C=,f(x)=a0 + a1x+cdots+anx^n mid a0 + a1=0
são subanéis (fechados sob soma, inverso aditivo e produto) e quais são ideais (subgrupo aditivo que absorve produto por qualquer elemento de Z[x]).

Passo 2

Analisando A:
1. Fechamento sob soma e inverso: se f,gin A têm constantes a0 e b0 pares, então (fpm g) tem constante a0pm b0, ainda par.
2. Fechamento sob produto: o termo independente de fcdot g é a0b0, produto de dois pares, logo par.
3. Conclusão: A é subanel de Z[x].
4. Para ideal: tome fin A e hinZ[x] com constantes a0 (par) e c0. O produto fcdot h tem termo independente a0c0, que é par. Assim A absorve multiplicação por qualquer polinômio, logo é ideal.

Passo 3

Analisando B:
1. Definição: B=finZ[x]mid termo independente zero = xZ[x].
2. Soma e inverso: se f,g têm termo independente zero, então fpm g também.
3. Produto: fcdot g tem termo independente zero (pelo fator xcdot x ou xcdot(dots)).
4. Logo B é subanel.
5. Absorção: para qualquer fin B e hinZ[x], fcdot h ainda tem termo independente zero. Então B é ideal (é o ideal principal (x)).

Passo 4

Analisando C:
1. Soma e inverso: se a0+a1=0 e b0+b1=0, então para fpm g o termo independente mais o de x é (a0pm b0)+(a1pm b1)=0pm0=0. Logo é sub‐grupo aditivo.
2. Produto: o termo independente de fcdot g é a0b0 e o de x é a0b1 + a1b0. Somando:
a0b0 + (a0b1+a1b0) = a0(b0+b1) + a1b0 = 0 + a1b0 neq 0
em geral. Falha o fechamento sob produto, logo não é subanel.
3. Como não é subanel, tampouco pode ser ideal.

Resposta

A é subanel e ideal.
B é subanel e ideal.
C não é subanel nem ideal.

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