Seja f(x)=a x^3+b x^2+c x+d in R[x] com f(0)=f(1)=f(2)=0, e f(3)=12. Determine a, b, c, d.

Passo 1

O enunciado diz que f(x)=a x^3+b x^2+c x+d é um polinômio de grau 3 em R[x] e que
f(0)=f(1)=f(2)=0, f(3)=12
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes): se x0 é raiz de f, então (x - x0) é fator de f(x).

Passo 2

Como f(0)=0, f(1)=0 e f(2)=0, temos que 0, 1 e 2 são raízes de f. Logo
f(x)=k,(x-0),(x-1),(x-2)=k,x,(x-1),(x-2)
para algum kinR.

Passo 3

Usamos a condição f(3)=12:
f(3)=kcdot3cdot(3-1)cdot(3-2)=kcdot3cdot2cdot1=6k,
e como f(3)=12 segue que
6k=12Longrightarrow k=2

Passo 4

Substituindo k=2 e expandindo:
f(x)=2,x,(x-1),(x-2) Longrightarrow f(x)=2l(x^3-3x^2+2xr) Longrightarrow f(x)=2x^3-6x^2+4x

Passo 5

Comparando com f(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d, vemos que
a=2, b=-6, c=4, d=0

Resposta

a=2, b=-6, c=4, d=0

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