Considere um consumidor que tem renda
para gastar na aquisição dos bens
e
cujos preços são
e
, respectivamente. Suponha que sobre a função de utilidade
sua restrição orçamentária será
. Encontre as quantidades dos bens
e
que maximiza a função utilidade e o valor do multiplicador de Lagrange se:
Passo 1
O enunciado dá um consumidor com renda
para gastar nos bens
e
com preços
e
. A restrição orçamentária é
A função utilidade é
O que o problema pede:
- Encontrar as quantidades
e que maximizam sujeitas à restrição orçamentária. - Encontrar o valor do multiplicador de Lagrange
.
Observações que vamos usar (assumidas):
,
,
e
. Não resolvemos nada ainda — só listei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Escolha do método: vou usar multiplicadores de Lagrange. Por quê? Porque queremos maximizar uma função de duas variáveis sujeita a uma restrição de igualdade (a restrição orçamentária). O método de Lagrange transforma um problema com restrição em um sistema de equações (as chamadas condições de primeira ordem) que podemos resolver de forma direta e mecânica. Além disso, como a utilidade é soma de funções
(concavas), o problema é convexo/concavo no sentido certo e as condições de primeira ordem serão suficientes para garantir máximo interior.
Passo 3
Montar a função Lagrangiana. Defino a função
onde
é o multiplicador de Lagrange. A ideia: estacionar
nas três variáveis.
Passo 4
Calcular as condições de primeira ordem (derivadas parciais e igualar a zero).
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
(rest. orçamentária):
Essas três equações formam o sistema a resolver.
Passo 5
Interpretar e combinar as duas primeiras equações. Das duas primeiras obtemos:
Igualando os lados direitos (ou dividindo as duas equações), obtemos
mais diretamente (cancelando
e
quando conveniente) chegamos a
Essa relação é a condição de equilíbrio: a razão entre as utilidades marginais se iguala à razão de preços (ou, pensando economicamente, a utilidade marginal por unidade monetária é igual entre os dois bens).
Passo 6
Resolver a relação para expressar uma variável em função da outra. A partir de
temos
e, elevando ao quadrado,
Passo 7
Substituir na restrição orçamentária para achar
. A restrição é
Substituindo
obtemos
Simplificando o primeiro termo:
Fatorando
:
Logo
Multiplicando numerador e denominador por
para ficar mais bonito:
Passo 8
Calcular
usando a relação do Passo 6. Como
substituindo o valor de
do passo anterior:
Portanto as soluções são simétricas: cada
tem um preço do outro no numerador.
Passo 9
Calcular o multiplicador
. Use a condição de primeira ordem, por exemplo
Logo
Substituindo
e simplificando a raiz, obtemos
(Verificação rápida: se usar a equação pelo
dá a mesma expressão.)
Passo 10
Verificação de suficiência (por segurança): a função
é soma de funções
, cada uma estritamente concava em
. Assim
é estritamente concava e a restrição orçamentária define um conjunto convexo; portanto a solução interior encontrada pelas condições de primeira ordem é o máximo global. Como os preços e renda são positivos, a solução é interior (
) e válida.