Considere um consumidor que tem renda m para gastar na aquisição dos bens x_{1} e x_{2} cujos preços são p_{1} e p_{2}, respectivamente. Suponha que sobre a função de utilidade U\left(x_{1}, x_{2}\right) sua restrição orçamentária será p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}=m. Encontre as quantidades dos bens x_{1} e x_{2} que maximiza a função utilidade e o valor do multiplicador de Lagrange se:
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{1 / 2}+x_{2}^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado dá um consumidor com renda \,m para gastar nos bens \,x_{1} e \,x_{2} com preços \,p_{1} e \,p_{2}. A restrição orçamentária é
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
A função utilidade é
U(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{1/2} + x_{2}^{1/2}.
O que o problema pede:
  • Encontrar as quantidades \,x_{1} e \,x_{2} que maximizam \,U sujeitas à restrição orçamentária.
  • Encontrar o valor do multiplicador de Lagrange \,\lambda.
Observações que vamos usar (assumidas): \,m>0, \,p_{1}>0, \,p_{2}>0 e \,x_{1},x_{2}\ge0. Não resolvemos nada ainda — só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Escolha do método: vou usar multiplicadores de Lagrange. Por quê? Porque queremos maximizar uma função de duas variáveis sujeita a uma restrição de igualdade (a restrição orçamentária). O método de Lagrange transforma um problema com restrição em um sistema de equações (as chamadas condições de primeira ordem) que podemos resolver de forma direta e mecânica. Além disso, como a utilidade é soma de funções \sqrt{\cdot} (concavas), o problema é convexo/concavo no sentido certo e as condições de primeira ordem serão suficientes para garantir máximo interior.

Passo 3

Montar a função Lagrangiana. Defino a função
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=x_{1}^{1/2}+x_{2}^{1/2}+\lambda\bigl(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\bigr),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. A ideia: estacionar \mathcal{L} nas três variáveis.

Passo 4

Calcular as condições de primeira ordem (derivadas parciais e igualar a zero).
Derivada parcial em relação a \,x_{1}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=\frac{1}{2}x_{1}^{-1/2}-\lambda p_{1}=0.
Derivada parcial em relação a \,x_{2}:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=\frac{1}{2}x_{2}^{-1/2}-\lambda p_{2}=0.
Derivada parcial em relação a \,\lambda (rest. orçamentária):
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}=0.
Essas três equações formam o sistema a resolver.

Passo 5

Interpretar e combinar as duas primeiras equações. Das duas primeiras obtemos:
\frac{1}{2}x_{1}^{-1/2}=\lambda p_{1}, \qquad \frac{1}{2}x_{2}^{-1/2}=\lambda p_{2}.
Igualando os lados direitos (ou dividindo as duas equações), obtemos
\lambda p_{1}=\lambda p_{2}\cdot\frac{1}{\\ } \frac{x_{2}^{-1/2}}{x_{1}^{-1/2}}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}x_{1}^{-1/2}=\frac{1}{2}x_{2}^{-1/2}\cdot\frac{p_{1}}{p_{2}}
mais diretamente (cancelando \tfrac{1}{2} e \lambda quando conveniente) chegamos a
p_{1}\sqrt{x_{1}}=p_{2}\sqrt{x_{2}}.
Essa relação é a condição de equilíbrio: a razão entre as utilidades marginais se iguala à razão de preços (ou, pensando economicamente, a utilidade marginal por unidade monetária é igual entre os dois bens).

Passo 6

Resolver a relação para expressar uma variável em função da outra. A partir de
p_{1}\sqrt{x_{1}}=p_{2}\sqrt{x_{2}}
temos
\sqrt{x_{1}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\sqrt{x_{2}}
e, elevando ao quadrado,
x_{1}=\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{2}x_{2}.

Passo 7

Substituir na restrição orçamentária para achar \,x_{2}. A restrição é
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
Substituindo x_{1}=\bigl(\tfrac{p_{2}}{p_{1}}\bigr)^{2}x_{2} obtemos
p_{1}\left(\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}^{2}}x_{2}\right)+p_{2}x_{2}=m.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{p_{2}^{2}}{p_{1}}x_{2}+p_{2}x_{2}=m.
Fatorando p_{2}x_{2}:
p_{2}x_{2}\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}+1\right)=m.
Logo
x_{2}=\frac{m}{p_{2}\bigl(1+\tfrac{p_{2}}{p_{1}}\bigr)}.
Multiplicando numerador e denominador por \,p_{1} para ficar mais bonito:
x_{2}=\frac{m p_{1}}{p_{2}\bigl(p_{1}+p_{2}\bigr)}.

Passo 8

Calcular \,x_{1} usando a relação do Passo 6. Como
x_{1}=\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{2}x_{2},
substituindo o valor de \,x_{2} do passo anterior:
x_{1}=\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)^{2}\cdot\frac{m p_{1}}{p_{2}\bigl(p_{1}+p_{2}\bigr)} = \frac{m p_{2}}{p_{1}\bigl(p_{1}+p_{2}\bigr)}.
Portanto as soluções são simétricas: cada x_{i} tem um preço do outro no numerador.

Passo 9

Calcular o multiplicador \lambda. Use a condição de primeira ordem, por exemplo
\frac{1}{2}x_{1}^{-1/2}=\lambda p_{1}.
Logo
\lambda=\frac{1}{2p_{1}}\;x_{1}^{-1/2}.
Substituindo x_{1}=\dfrac{m p_{2}}{p_{1}(p_{1}+p_{2})} e simplificando a raiz, obtemos
\lambda=\frac{1}{2p_{1}}\sqrt{\frac{p_{1}(p_{1}+p_{2})}{m p_{2}}} =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p_{1}+p_{2}}{m p_{1}p_{2}}}.
(Verificação rápida: se usar a equação pelo \,x_{2} dá a mesma expressão.)

Passo 10

Verificação de suficiência (por segurança): a função \,U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2}+x_{2}^{1/2} é soma de funções \sqrt{\cdot}, cada uma estritamente concava em [0,\infty). Assim U é estritamente concava e a restrição orçamentária define um conjunto convexo; portanto a solução interior encontrada pelas condições de primeira ordem é o máximo global. Como os preços e renda são positivos, a solução é interior ( x_{1},x_{2}>0) e válida.

Resposta

x_{1}=\frac{m p_{2}}{p_{1}\bigl(p_{1}+p_{2}\bigr)}
x_{2}=\frac{m p_{1}}{p_{2}\bigl(p_{1}+p_{2}\bigr)}
\lambda=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p_{1}+p_{2}}{m p_{1}p_{2}}}

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