Use a hessiana aumentada (ou hessiana orlada) para encontrar o valor estacionário dizendo se é máximo ou mínimo:
f(x, y)=x y sujeito a restrição x+y=16

Passo 1

O enunciado dá:
  • Função objetivo f(x,y)=x y.
  • Restrição (igualdade) x+y=16.
O que é pedido:
  • Encontrar o ponto estacionário sujeito à restrição.
  • Dizer se esse ponto é máximo ou mínimo (usar a hessiana aumentada / hessiana orlada).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A restrição pode ser escrita como g(x,y)=x+y-16=0.
  • Todas as derivadas parciais de f e g que usaremos são definidas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Vou formar a função de Lagrange (explicando o porquê): a ideia é incorporar a restrição com um multiplicador \lambda. A função de Lagrange é
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)=x y - \lambda(x+y-16).
Explicação didática: \lambda é um número que ajusta a penalidade por violar a restrição; para extremos sujeitos a g=0 procuramos pontos onde todas as derivadas parciais de \mathcal{L} são zero (condição de Lagrange).

Passo 3

Calculo as equações de primeira ordem (derivadas parciais de \mathcal{L}):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=y-\lambda=0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=x-\lambda=0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x+y-16)=0.
Explicando cada uma: as duas primeiras dizem que, no extremo com a restrição, as variações diretas em x e y compensam com \lambda; a terceira impõe a própria restrição.
Resolvendo o sistema:
  • Das duas primeiras equações segue y=\lambda e x=\lambda, logo x=y.
  • Substituindo na restrição x+y=16 temos 2x=16, então x=8 e y=8.
  • Consequentemente \lambda=8.
Portanto há um único ponto candidato: (x,y)=(8,8).

Passo 4

Agora vamos aplicar a hessiana aumentada (hessiana orlada). Primeiro defino os termos que entram na matriz:
  • A função de restrição escrita como g(x,y)=x+y-16. Suas derivadas parciais são
g_x=\frac{\partial g}{\partial x}=1,\qquad g_y=\frac{\partial g}{\partial y}=1.
  • As segundas derivadas de f são
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0,\qquad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=1,\qquad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.
Observação: essas segundas derivadas são constantes (não dependem de x,y).
Definição e razão de ser da hessiana orlada: para uma variável de restrição e duas variáveis, a matriz orlada (bordered Hessian) é a matriz 3\times3 construída assim:
H_B=\begin{pmatrix} 0 & g_x & g_y\\[4pt] g_x & f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] g_y & f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Explicação simples: a primeira linha/coluna “contorna” a hessiana de f com as derivadas da restrição; a característica da determinante desta matriz nos dá a natureza (máx/min) do extremo restrito.]

Passo 5

Substituo os valores calculados em H_B. Como g_x=g_y=1 e f_{xx}=0,f_{xy}=1,f_{yy}=0, obtemos
H_B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante de H_B passo a passo (expansão pela primeira linha):
\det(H_B) =0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1.
Substituindo:
\det(H_B)=0\cdot(-1)-1\cdot(-1)+1\cdot1=0+1+1=2.
Logo \det(H_B)=2>0.]

Passo 6

Interpretação do sinal (regra prática que vamos usar): para um problema com uma restrição de igualdade e duas variáveis, usando a hessiana orlada na forma acima, o sinal de \det(H_B) indica:
  • se \det(H_B)>0 então o ponto interior é um máximo restrito;
  • se \det(H_B)<0 então o ponto interior é um mínimo restrito.
Aplicando ao nosso caso: \det(H_B)=2>0, portanto o ponto (8,8) é um ponto de máximo restrito.
Breve justificativa intuitiva: a hessiana orlada testa a curvatura da função restrita ao espaço tangente da restrição; o sinal positivo do determinante (com esta construção de borda) corresponde a curvatura “concava para baixo” ao longo da direção admissível, logo máximo.

Passo 7

Confirmação alternativa (método elementar, útil para checar): resolver a restrição explicitamente y=16-x e estudar a função unidimensional
\varphi(x)=f(x,16-x)=x(16-x)=16x-x^2.
Derivada: \varphi'(x)=16-2x, zerando: x=8. Segunda derivada: \varphi''(x)=-2<0, portanto é um máximo local. Isso confirma o resultado obtido com a hessiana orlada.

Resposta

(x,y)=(8,8)
Máximo restrito com f(8,8)=64

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