Use a hessiana aumentada (ou hessiana orlada) para encontrar o valor estacionário dizendo se é máximo ou mínimo: f(x, y)=x y sujeito a restrição x+y=16
Passo 1
O enunciado dá:
Função objetivo f(x,y)=x y.
Restrição (igualdade) x+y=16.
O que é pedido:
Encontrar o ponto estacionário sujeito à restrição.
Dizer se esse ponto é máximo ou mínimo (usar a hessiana aumentada / hessiana orlada).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A restrição pode ser escrita como g(x,y)=x+y-16=0.
Todas as derivadas parciais de f e g que usaremos são definidas em todo \mathbb{R}^2.
Passo 2
Vou formar a função de Lagrange (explicando o porquê): a ideia é incorporar a restrição com um multiplicador \lambda. A função de Lagrange é
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)=x y - \lambda(x+y-16).
Explicação didática: \lambda é um número que ajusta a penalidade por violar a restrição; para extremos sujeitos a g=0 procuramos pontos onde todas as derivadas parciais de \mathcal{L} são zero (condição de Lagrange).
Passo 3
Calculo as equações de primeira ordem (derivadas parciais de \mathcal{L}):
Explicando cada uma: as duas primeiras dizem que, no extremo com a restrição, as variações diretas em x e y compensam com \lambda; a terceira impõe a própria restrição.
Resolvendo o sistema:
Das duas primeiras equações segue y=\lambda e x=\lambda, logo x=y.
Substituindo na restrição x+y=16 temos 2x=16, então x=8 e y=8.
Consequentemente \lambda=8.
Portanto há um único ponto candidato: (x,y)=(8,8).
Passo 4
Agora vamos aplicar a hessiana aumentada (hessiana orlada). Primeiro defino os termos que entram na matriz:
A função de restrição escrita como g(x,y)=x+y-16. Suas derivadas parciais são
Observação: essas segundas derivadas são constantes (não dependem de x,y).
Definição e razão de ser da hessiana orlada: para uma variável de restrição e duas variáveis, a matriz orlada (bordered Hessian) é a matriz 3\times3 construída assim:
Explicação simples: a primeira linha/coluna “contorna” a hessiana de f com as derivadas da restrição; a característica da determinante desta matriz nos dá a natureza (máx/min) do extremo restrito.]
Passo 5
Substituo os valores calculados em H_B. Como g_x=g_y=1 e f_{xx}=0,f_{xy}=1,f_{yy}=0, obtemos
Interpretação do sinal (regra prática que vamos usar): para um problema com uma restrição de igualdade e duas variáveis, usando a hessiana orlada na forma acima, o sinal de \det(H_B) indica:
se \det(H_B)>0 então o ponto interior é um máximo restrito;
se \det(H_B)<0 então o ponto interior é um mínimo restrito.
Aplicando ao nosso caso: \det(H_B)=2>0, portanto o ponto (8,8) é um ponto de máximo restrito.
Breve justificativa intuitiva: a hessiana orlada testa a curvatura da função restrita ao espaço tangente da restrição; o sinal positivo do determinante (com esta construção de borda) corresponde a curvatura “concava para baixo” ao longo da direção admissível, logo máximo.
Passo 7
Confirmação alternativa (método elementar, útil para checar): resolver a restrição explicitamente y=16-x e estudar a função unidimensional
\varphi(x)=f(x,16-x)=x(16-x)=16x-x^2.
Derivada: \varphi'(x)=16-2x, zerando: x=8. Segunda derivada: \varphi''(x)=-2<0, portanto é um máximo local. Isso confirma o resultado obtido com a hessiana orlada.