Projete um filtro passa-faixa para deixar passar frequências entre 250 Hz e 3.000 Hz e com \mathrm{K}=10. Selecione \mathrm{R}=20 \mathrm{k} \Omega.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi decidido:
  • Projetar um filtro passa-faixa que deixe passar frequências entre 250\\ \text{Hz} e 3000\\ \text{Hz}.
  • O ganho em banda de passagem deve ser \mathrm{K}=10.
  • Foi pedido para selecionar \mathrm{R}=20\\ \text{k}\Omega (vou usar esse valor como referência para os resistores R das etapas e também como um resistor do amplificador).
  • Não foi especificado o tipo exato do filtro, então vou escolher uma solução simples, prática e adequada para prova: cascatar um filtro passa-altas de 1.º ordem, um amplificador não inversor com ganho K=10, e depois um filtro passa-baixas de 1.º ordem. Essa topologia é fácil de analisar, usar em bancada e calcular sem calculadora sofisticada.
As perguntas implícitas que vamos responder:
  • Quais valores dos componentes (capacitores e resistores) usar para atingir as frequências de corte pedidas usando R=20\\ \text{k}\Omega?
  • Como projetar o amplificador para obter K=10?

Passo 2

Escolha do método (explicando por que esse método):
  • Um passe-faixa pode ser obtido por várias topologias (filtros ativos de 2.ª ordem, MFB, Sallen–Key, ou simplesmente cascata de primeiro ordem HP + amplificador + primeiro ordem LP).
  • Vou usar cascata de filtros de 1.º ordem (HP) e 1.º ordem (LP) com um amplificador não inversor entre eles. Por quê?
    • É método didático e rápido: fórmulas simples \,f_c=\dfrac{1}{2\pi R C}\, para cada estágio.
    • Usa \,R=20\\ \text{k}\Omega\, de forma direta.
    • O ganho total em banda será essencialmente o ganho do estágio amplificador (a menos de pequenas perdas de magnitude perto das bordas), logo consigo garantir \mathrm{K}=10.
  • Portanto o circuito será: entrada → filtro passa-altas RC (1.º ordem) → entrada não inversora do amp não-inversor → amp com ganho K=10 → filtro passa-baixas RC (1.º ordem) → saída.

Passo 3

Revisão didática das fórmulas básicas (muito importante para a prova)
  • Para um filtro RC de primeira ordem (passa-baixa, topologia série R em série com entrada e capacitor \to terra), a frequência de corte é
f_c=\frac{1}{2\pi R C},
onde R é o resistor em série e C o capacitor ao terra. Em f=f_c a magnitude do ganho do estágio cae a 1/\sqrt{2} do valor em baixas frequências.
  • Para um filtro RC passa-altas simples (topologia: capacitor em série com a entrada e resistor para terra depois do capacitor), a mesma fórmula vale para a frequência de corte, com R sendo o resistor para terra e C o capacitor em série:
f_c=\frac{1}{2\pi R C}.
  • Para um amplificador não inversor, o ganho em tensão é
K = 1 + \frac{R_f}{R_g},
onde R_f é o resistor entre saída e entrada negativa, e R_g é o resistor entre entrada negativa e terra. A entrada positiva recebe o sinal (alta impedância), então o primeiro RC não é carregado pelo estágio seguinte.

Passo 4

Projeto do filtro passa-altas (corte em 250\\ \text{Hz}) usando R=20\\ \text{k}\Omega
  • Usamos a fórmula
C_{HP}=\frac{1}{2\pi R f_c}.
  • Substituindo R=20\\ \text{k}\Omega e f_c=250\\ \text{Hz}:
C_{HP}=\frac{1}{2\pi\cdot 20\times 10^{3}\cdot 250}.
  • Calculemos o valor numérico (mostrar passo a passo):
2\pi\cdot 20\times10^{3}\cdot250 = 2\pi\cdot 5{,}0\times10^{6}\approx 31{,}415{,}926{,}54.
C_{HP}\approx \frac{1}{31{,}415{,}926{,}54}\approx 3{,}183\times10^{-8}\\ \text{F}=31{,}83\\ \text{nF}.
  • Escolha prática: capacitor padrão C_{HP}=33\\ \text{nF} (33 nF é valor comercial comum).
  • Verificação do corte com C_{HP}=33\\ \text{nF}:
f_{c,HP}=\frac{1}{2\pi\cdot 20\times10^{3}\cdot 33\times10^{-9}} \approx 241{,}3\\ \text{Hz},
ou seja, bem próximo de 250\\ \text{Hz} (ligeiramente menor, o que alarga um pouco a banda por baixo — aceitável).

Passo 5

Projeto do filtro passa-baixas (corte em 3000\\ \text{Hz}) usando R=20\\ \text{k}\Omega
  • Usamos a mesma fórmula rearranjada:
C_{LP}=\frac{1}{2\pi R f_c}.
  • Substituindo R=20\\ \text{k}\Omega e f_c=3000\\ \text{Hz}:
C_{LP}=\frac{1}{2\pi\cdot 20\times10^{3}\cdot3000}.
  • Calculemos:
2\pi\cdot 20\times10^{3}\cdot3000=2\pi\cdot 60\times10^{6}\approx 376{,}991{,}118{,}43
C_{LP}\approx \frac{1}{376{,}991{,}118{,}43}\approx 2{,}6526\times10^{-9}\\ \text{F}=2{,}6526\\ \text{nF}.
  • Escolha prática: capacitor padrão C_{LP}=2{,}7\\ \text{nF} (2,7 nF é valor comercial comum).
  • Verificação do corte com C_{LP}=2{,}7\\ \text{nF}:
f_{c,LP}=\frac{1}{2\pi\cdot 20\times10^{3}\cdot 2{,}7\times10^{-9}} \approx 2947\\ \text{Hz},
ou seja, muito próximo de 3000\\ \text{Hz}.

Passo 6

Projeto do amplificador não inversor com ganho \mathrm{K}=10 usando R_g=20\\ \text{k}\Omega
  • Queremos K=10. A fórmula é
K = 1 + \frac{R_f}{R_g}.
  • Tomando R_g=20\\ \text{k}\Omega (o R escolhido), resolvemos para R_f:
R_f = (K-1)\,R_g = 9\cdot 20\\ \text{k}\Omega = 180\\ \text{k}\Omega.
  • Escolha prática: R_f=180\\ \text{k}\Omega (valor comercial comum) e R_g=20\\ \text{k}\Omega.
  • Assim o ganho será
K = 1 + \frac{180\\ \text{k}\Omega}{20\\ \text{k}\Omega} = 1 + 9 = 10.

Passo 7

Topologia final do circuito (como ligar e observações práticas)
  • Conexões (da entrada à saída):
    1. Entrada → capacitor C_{HP} em série → nó A. Do nó A há um resistor R_{HP}=20\\ \text{k}\Omega para terra. O nó A é a saída do estágio passa-altas.
    2. Nó A → entrada não inversora + do amplificador operacional (alta impedância).
    3. Amplificador não inversor: entrada positiva no nó A; rede de realimentação entre saída e entrada negativa com R_f=180\\ \text{k}\Omega e entre entrada negativa e terra R_g=20\\ \text{k}\Omega.
    4. Saída do amplificador → nó B que alimenta o estágio passa-baixas: resistor R_{LP}=20\\ \text{k}\Omega em série com a saída e depois capacitor C_{LP} para terra. O nó B (entre o resistor R_{LP} e o capacitor) é a saída final do filtro.
  • Observações práticas:
    • O amplificador entre os RC evita carregamento entre os estágios e garante o ganho desejado.
    • Usar um op-amp que suporte a faixa de frequência (por ex. um op-amp de áudio/uso geral com GBW suficiente; escolha prático: TL07x/NE5532/OPA2134 etc. conforme alimentação).
    • Alimentação do op-amp: certifique-se de tensões de alimentação adequadas para a amplitude do sinal esperado.
    • Valores finais escolhidos para componentes:
      • R_{HP}=20\\ \text{k}\Omega, C_{HP}=33\\ \text{nF} (corte ≈ 241{,}3\\ \text{Hz}).
      • R_g=20\\ \text{k}\Omega, R_f=180\\ \text{k}\Omega (ganho K=10).
      • R_{LP}=20\\ \text{k}\Omega, C_{LP}=2{,}7\\ \text{nF} (corte ≈ 2947\\ \text{Hz}).
    • Se quiser cortes exatamente nos valores teóricos use C_{HP}=31{,}83\\ \text{nF} e C_{LP}=2{,}6526\\ \text{nF}, mas valores comerciais arredondados são comuns e aceitáveis.

Passo 8

Validação rápida (números resumidos)
  • Frequência central aproximada (geométrica) do passa-faixa formado pelos cortes:
f_0=\sqrt{f_{L}f_{H}}=\sqrt{250\cdot 3000}\approx 866{,}0\\ \text{Hz}.
  • Largura de banda aproximada:
\text{BW}=f_{H}-f_{L}=3000-250=2750\\ \text{Hz}.
  • Qualidade aproximada:
Q=\frac{f_0}{\text{BW}}\approx \frac{866{,}0}{2750}\approx 0{,}315.
Isto confirma que é um filtro de banda larga (Q pequeno), onde a solução com estágios de 1.º ordem é perfeitamente adequada.

Resposta

R_{HP}=20\\ \text{k}\Omega,\;C_{HP}=33\\ \text{nF} (corte \approx241{,}3\\ \text{Hz})
R_g=20\\ \text{k}\Omega,\;R_f=180\\ \text{k}\Omega (ganho K=10)
R_{LP}=20\\ \text{k}\Omega,\;C_{LP}=2{,}7\\ \text{nF} (corte \approx2947\\ \text{Hz})

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