Considere um conversor trifásico com tiristores, com V_{\mathrm{s}}=460 \mathrm{~V} eficaz a f=60 \mathrm{~Hz} e L_{\mathrm{s}}=5 \mathrm{mH}. O ângulo de disparo é \alpha=45^{\circ}. Esse conversor está fornecendo 5 kW de potência elétrica. A corrente elétrica do lado CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente CC .
5. Calcule o ângulo de comutação u.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o ângulo de comutação u (também chamado \mu em muitos textos) para um conversor trifásico controlado com tiristores, usando os dados fornecidos. Dados do problema:
Tensão de linha eficaz: V_{\mathrm{s}}=460\\ \text{V} (assume-se tensão linha‑a‑linha RMS).
Frequência: f=60\\ \text{Hz}.
Indutância de fonte por fase: L_{\mathrm{s}}=5\\ \text{mH}=0{,}005\\ \text{H}.
A corrente do lado CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente contínua (constante I_d).
O que precisamos encontrar: o ângulo de comutação u (denotarei por \mu) em graus (e também em radianos).
Observação: a resolução a seguir não solicita informações extras; todos os valores acima serão usados.
Passo 2
Idéia física e fórmula que vamos obter: durante a comutação (sobreposição) dois ramos de fonte se cruzam e a diferença de tensão entre as duas fases força a transferência de corrente através da indutância de fonte. Escrevendo a equação de comutação e integrando, obtém‑se a relação entre o corrente contínua I_d, a indutância L_s, a forma da tensão de linha e o ângulo de comutação \mu. Vou derivar essa relação passo a passo.
Definições úteis:
Pulsação angular: \omega = 2\pi f.
Tensão de linha (RMS) dada: V_{LL}=V_{\mathrm{s}}=460\\ \text{V}.
Pico da tensão linha‑a‑linha:
V_{LL,\text{pk}}=\sqrt{2}\,V_{LL}.
Expressão das tensões de fase e diferença entre duas fases:
Tomando duas fases consecutivas, a diferença instantânea de tensão que aparece durante a comutação pode ser escrita (com escolha de referência de fase) como
v_{ab}(t)=v_a(t)-v_b(t) = -V_{LL,\text{pk}}\sin\!\big(\omega t - \tfrac{\pi}{3}\big).
(essa identidade foi obtida usando as fórmulas trigonométricas para tensões trifásicas; o pico da diferença é exatamente V_{LL,\text{pk}}.)
Equação diferencial durante a comutação (por L di/dt):
L_s \frac{di}{dt}=v_{ab}(t).
Mudar de variável para \sigma=\omega t (assim d\sigma=\omega dt e dt=d\sigma/\omega) dá
Integração durante o intervalo de comutação: se a comutação começa em \sigma_0 e dura \mu (ou seja de \sigma_0 até \sigma_0+\mu), a corrente que é transferida vale I_d. Integrando:
Agora precisamos saber \sigma_0 (a fase inicial da comutação) em função de \alpha. Para o conversor trifásico de seis pulsos, cada comutação ideal começa em \sigma_0=\tfrac{\pi}{6}+\alpha. Substituindo,
Estimativa da corrente DC I_d. Como o enunciado diz que i_d(t) pode ser considerada puramente DC e a potência entregue é P=5\\ \text{kW}, podemos estimar inicialmente I_d usando a tensão média ideal sem comutação. A tensão média ideal (sem overlap) para conversor trifásico controlado é
(Na prática a comutação reduz ligeiramente a tensão média e isso aumenta um pouco I_d; faremos a estimativa com este I_d — a correção é pequena e não altera muito \mu aqui.)
Passo 5
Usar a relação exata entre I_d e \mu e resolver para \mu.
Breve observação: poderia-se iterar incluindo a queda de tensão causada pela comutação para corrigir I_d e obter \mu mais preciso; porém, com os valores numéricos aqui a diferença é pequena (a iteração leva a um pequeno aumento de I_d e de \mu, da ordem de décimos de grau). Para a maioria dos propósitos práticos a estimativa acima é suficiente.