Considere um conversor trifásico com tiristores, com V_{\mathrm{s}}=460 \mathrm{~V} eficaz a f=60 \mathrm{~Hz} e L_{\mathrm{s}}=5 \mathrm{mH}. O ângulo de disparo é \alpha=45^{\circ}. Esse conversor está fornecendo 5 kW de potência elétrica. A corrente elétrica do lado CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente CC .
5. Calcule o ângulo de comutação u.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o ângulo de comutação u (também chamado \mu em muitos textos) para um conversor trifásico controlado com tiristores, usando os dados fornecidos. Dados do problema:
  • Tensão de linha eficaz: V_{\mathrm{s}}=460\\ \text{V} (assume-se tensão linha‑a‑linha RMS).
  • Frequência: f=60\\ \text{Hz}.
  • Indutância de fonte por fase: L_{\mathrm{s}}=5\\ \text{mH}=0{,}005\\ \text{H}.
  • Ângulo de disparo: \alpha=45^\circ.
  • Potência fornecida (lado CC): P=5{,}0\\ \text{kW}.
  • A corrente do lado CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente contínua (constante I_d).
O que precisamos encontrar: o ângulo de comutação u (denotarei por \mu) em graus (e também em radianos).
Observação: a resolução a seguir não solicita informações extras; todos os valores acima serão usados.

Passo 2

Idéia física e fórmula que vamos obter: durante a comutação (sobreposição) dois ramos de fonte se cruzam e a diferença de tensão entre as duas fases força a transferência de corrente através da indutância de fonte. Escrevendo a equação de comutação e integrando, obtém‑se a relação entre o corrente contínua I_d, a indutância L_s, a forma da tensão de linha e o ângulo de comutação \mu. Vou derivar essa relação passo a passo.
Definições úteis:
  • Pulsação angular: \omega = 2\pi f.
  • Tensão de linha (RMS) dada: V_{LL}=V_{\mathrm{s}}=460\\ \text{V}.
  • Pico da tensão linha‑a‑linha:
V_{LL,\text{pk}}=\sqrt{2}\,V_{LL}.
Expressão das tensões de fase e diferença entre duas fases:
  • Tomando duas fases consecutivas, a diferença instantânea de tensão que aparece durante a comutação pode ser escrita (com escolha de referência de fase) como
v_{ab}(t)=v_a(t)-v_b(t) = -V_{LL,\text{pk}}\sin\!\big(\omega t - \tfrac{\pi}{3}\big).
(essa identidade foi obtida usando as fórmulas trigonométricas para tensões trifásicas; o pico da diferença é exatamente V_{LL,\text{pk}}.)
Equação diferencial durante a comutação (por L di/dt):
L_s \frac{di}{dt}=v_{ab}(t).
Mudar de variável para \sigma=\omega t (assim d\sigma=\omega dt e dt=d\sigma/\omega) dá
\frac{di}{d\sigma}=\frac{1}{\omega L_s}\,v_{ab}(\sigma).
Integração durante o intervalo de comutação: se a comutação começa em \sigma_0 e dura \mu (ou seja de \sigma_0 até \sigma_0+\mu), a corrente que é transferida vale I_d. Integrando:
I_d=\frac{1}{\omega L_s}\int_{\sigma_0}^{\sigma_0+\mu} v_{ab}(\sigma)\,d\sigma =\frac{-V_{LL,\text{pk}}}{\omega L_s}\int_{\sigma_0}^{\sigma_0+\mu}\sin\!\big(\sigma-\tfrac{\pi}{3}\big)d\sigma.
A integral dá (após calcular):
I_d=\frac{V_{LL,\text{pk}}}{\omega L_s}\Big[\cos\!\big(\sigma_0-\tfrac{\pi}{3}\big)-\cos\!\big(\sigma_0+\mu-\tfrac{\pi}{3}\big)\Big].
Agora precisamos saber \sigma_0 (a fase inicial da comutação) em função de \alpha. Para o conversor trifásico de seis pulsos, cada comutação ideal começa em \sigma_0=\tfrac{\pi}{6}+\alpha. Substituindo,
I_d=\frac{V_{LL,\text{pk}}}{\omega L_s}\Big[\cos\!\big(\alpha-\tfrac{\pi}{6}\big)-\cos\!\big(\alpha+\mu-\tfrac{\pi}{6}\big)\Big].
Esta é a relação exata (não linear) entre I_d e \mu que usaremos para encontrar \mu.

Passo 3

Calcular constantes numéricas a partir dos dados:
  • \omega=2\pi f=2\pi\cdot60\\ \text{rad/s}=376{,}9911\\ \text{rad/s}.
  • V_{LL,\text{pk}}=\sqrt{2}\,V_{LL}=\sqrt{2}\cdot460\\ \text{V}\approx650{,}54\\ \text{V}.
  • \omega L_s=(376{,}9911)\cdot(0{,}005)\\ \text{H}\approx1{,}8849556\\ \text{(V·s/A)}.
  • Coeficiente útil:
K\equiv\frac{V_{LL,\text{pk}}}{\omega L_s} \approx\frac{650{,}54}{1{,}8849556}\approx345{,}15.

Passo 4

Estimativa da corrente DC I_d. Como o enunciado diz que i_d(t) pode ser considerada puramente DC e a potência entregue é P=5\\ \text{kW}, podemos estimar inicialmente I_d usando a tensão média ideal sem comutação. A tensão média ideal (sem overlap) para conversor trifásico controlado é
\overline{V}_{d0}=\frac{3\sqrt{2}}{\pi}\,V_{LL}\cos\alpha.
Calculemos:
  • Constante \dfrac{3\sqrt{2}}{\pi}\approx1{,}35064.
  • \cos\alpha=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0{,}7071068.
    Logo
\overline{V}_{d0}\approx1{,}3506439\cdot460\cdot0{,}7071068\approx439{,}27\\ \text{V}.
Estimativa inicial de I_d:
I_d\approx\frac{P}{\overline{V}_{d0}}=\frac{5000}{439{,}27}\approx11{,}39\\ \text{A}.
(Na prática a comutação reduz ligeiramente a tensão média e isso aumenta um pouco I_d; faremos a estimativa com este I_d — a correção é pequena e não altera muito \mu aqui.)

Passo 5

Usar a relação exata entre I_d e \mu e resolver para \mu.
A relação é
I_d = K\Big[\cos\!\big(\alpha-\tfrac{\pi}{6}\big)-\cos\!\big(\alpha+\mu-\tfrac{\pi}{6}\big)\Big].
Isolando o cosseno:
\cos\!\big(\alpha+\mu-\tfrac{\pi}{6}\big)=\cos\!\big(\alpha-\tfrac{\pi}{6}\big)-\frac{I_d}{K}.
Substituindo números (em radianos para as funções trigonométricas):
  • \alpha=45^\circ então \alpha-\tfrac{\pi}{6}=45^\circ-30^\circ=15^\circ.
  • \cos15^\circ\approx0{,}9659258.
  • I_d/K\approx 11{,}39/345{,}15\approx0{,}0330.
Portanto
\cos\!\big(15^\circ+\mu\big)\approx0{,}9659258-0{,}0330=0{,}93293.
Logo
15^\circ+\mu=\operatorname{arccos}(0{,}93293)\approx21{,}10^\circ,
e portanto
\mu\approx21{,}10^\circ-15^\circ\approx6{,}10^\circ.
Convertendo para radianos:
\mu\approx6{,}10^\circ\cdot\frac{\pi}{180}\approx0{,}1065\\ \text{rad}.
Breve observação: poderia-se iterar incluindo a queda de tensão causada pela comutação para corrigir I_d e obter \mu mais preciso; porém, com os valores numéricos aqui a diferença é pequena (a iteração leva a um pequeno aumento de I_d e de \mu, da ordem de décimos de grau). Para a maioria dos propósitos práticos a estimativa acima é suficiente.

Resposta

\mu\approx6{,}10^\circ \approx0{,}1065\\ \text{rad}

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