Considere um conversor trifásico com tiristores, com V_{\mathrm{s}}=460 \mathrm{~V} eficaz a f=60 \mathrm{~Hz} e L_{\mathrm{s}}=5 \mathrm{mH}. O ângulo de disparo é \alpha=45^{\circ}. Esse conversor está fornecendo 5 kW de potência elétrica. A corrente elétrica do lado CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente CC .
7. Supondo que as correntes elétricas através dos tiristores aumentem/diminuam linearmente durante as comutações, calcule a potência elétrica reativa consumida pelo conversor.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Tensão de linha (rms): V_{\mathrm{s}} = 460\\ \mathrm{V}.
Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
Indutância de fonte (por fase, série): L_{\mathrm{s}} = 5\\ \mathrm{mH}.
Ângulo de disparo: \alpha = 45^\circ.
Potência CC fornecida (potência ativa no lado CC): P_{\mathrm{d}} = 5\\ \mathrm{kW}.
Corrente CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente contínua (constante).
Suposição adicional: durante as comutações as correntes aumentam/diminuem linearmente (é a hipótese usada para obter a relação entre ângulo de comutação \mu e I_d e para a expressão aproximada da tensão média com queda por comutação).
O que o enunciado pede:
Calcular a potência reativa consumida pelo conversor (ou seja, a potência reativa demandada da rede CA pelo conversor controlado).
Observação: a resolução precisará determinar primeiro a corrente CC I_d (porque P_d=V_d I_d e V_d é afetada pela indutância de fonte), depois o ângulo de comutação \mu e finalmente a potência reativa. A hipótese de comutação linear será usada para deduzir as fórmulas aproximadas usadas adiante.
Passo 2
Fórmulas e parâmetros úteis (explicação didática e motivos).
Tensão de fase (rms) e pico da tensão fase-neutro:
A tensão de fase (rms) é \displaystyle V_{\varphi,\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{s}}}{\sqrt{3}}. Aqui V_{\mathrm{s}} é a tensão de linha (line-to-line) rms.
O pico (amplitude) da tensão de fase é \displaystyle V_m=\sqrt{2}\,V_{\varphi,\mathrm{rms}}=\sqrt{2}\,\frac{V_{\mathrm{s}}}{\sqrt{3}}.
Explicando: a rede trifásica tem tensão entre linhas V_{\mathrm{s}}; para usar as fórmulas padrão do retificador trifásico normalmente trabalhamos com a tensão fase-neutro instantânea que tem amplitude V_m.
Expressão aproximada (hipótese de comutação linear) para a tensão média CC com sobreposição (comutação) em uma ponte trifásica controlada:
Uma expressão muito utilizada (aproximação padrão em problemas) é\overline{V_d}\;=\;\frac{3V_m}{\pi}\cos\alpha \;-\; \frac{3\omega L_{\mathrm{s}} I_d}{\pi}.Aqui:
\overline{V_d} é a tensão média no lado CC (valor médio no barramento),
V_m é a amplitude (pico) da tensão de fase,
\omega = 2\pi f é a pulsação da rede,
L_{\mathrm{s}} é a indutância série (por fase, considerada igual),
I_d é a corrente CC (constante).
Interpretação: o primeiro termo é a tensão média ideal do retificador controlado sem comutação (expressão clássica \tfrac{3V_m}{\pi}\cos\alpha); o segundo termo é a redução média causada pela comutação sobre a indutância de fonte (queda proporcional a I_d). A suposição de comutação linear dá esse termo proporcional a I_d.
Relação entre ângulo de sobreposição \mu e corrente I_d (resultante da equação de tensão durante o intervalo de comutação, assumindo rampa linear de corrente):
Explicando: essa é a relação que surge ao integrar a tensão diferencial entre fases durante o intervalo de comutação; serve para calcular \mu quando I_d e demais parâmetros são conhecidos.
Expressão prática para calcular a potência reativa fundamental consumida pelo conversor (aproximação usual em análise de retificadores controlados, considerando o componente fundamental da corrente):
Q \approx \frac{3 V_m I_d}{2\pi}\,\sin\alpha.
Interpretação: esta fórmula dá a potência reativa associada ao deslocamento causado pelo ângulo de disparo \alpha. É uma expressão padrão em muitos exercícios introdutórios de conversores trifásicos e representa a componente reativa (fundamental) que a carga não-sinusoidal impõe na rede. A influência de \mu sobre Q costuma ser tratada como correção de ordem superior; usando a fórmula acima temos uma boa aproximação quando \mu não é muito grande.
Agora vamos calcular números concretos com essas fórmulas.
Passo 3
Calcular parâmetros numéricos iniciais (tensão de pico, \omega, constantes da expressão linear da média de V_d).
Ambas as raízes matematicamente satisfazem a equação, mas a operação usual do conversor, com \alpha=45^\circ e sem condições extremas de carga, favorece a solução com corrente menor e tensão média razoável (a segunda raiz corresponderia a uma tensão CC muito baixa e corrente muito alta, situação menos típica e que levaria a ângulo de sobreposição maior). Além disso, a hipótese de pequena/moderada \mu encaixa melhor com I_d\approx 23{,}66\\ \mathrm{A}. Portanto tomamos
I_d \approx 23{,}66\\ \mathrm{A}.
Passo 5
Calcular o ângulo de comutação \mu (checar consistência da hipótese de comutação pequena/moderada).
Interpretação: o ângulo de sobreposição \mu é relativamente pequeno (\approx 8{,}7^\circ), consistente com a escolha da raiz I_d\approx 23{,}66\\ \mathrm{A} e com a hipótese de comutação moderada.
Passo 6
Calcular a potência reativa consumida pelo conversor.
Usamos a fórmula aproximada para a potência reativa fundamental do conversor controlado (aproximação padrão em exercícios):
Q \approx \frac{3 V_m I_d}{2\pi}\,\sin\alpha.
Explicação: essa fórmula dá a componente reativa associada ao deslocamento introduzido pelo ângulo de disparo \alpha sobre o componente fundamental da corrente. Ela é amplamente utilizada como aproximação quando \mu não é grande; aqui \mu\approx 8{,}7^\circ é pequeno o bastante para que a fórmula dê um valor representativo do consumo reativo.
Comentário sobre a aproximação: a presença de sobreposição \mu altera levemente as formas de corrente e, portanto, o valor exato de Q. No entanto, como \mu aqui é relativamente pequeno (\approx 8{,}7^\circ), a expressão acima fornece uma estimativa adequada para a potência reativa consumida pelo conversor na prática. Se fosse necessário incluir correções finas devido a \mu, haveria termos adicionais (de ordem superior) que diminuiriam um pouco o resultado; mas para muitos problemas de prova a expressão usada é a esperada.