Considere um conversor trifásico com tiristores, com V_{\mathrm{s}}=460 \mathrm{~V} eficaz a f=60 \mathrm{~Hz} e L_{\mathrm{s}}=5 \mathrm{mH}. O ângulo de disparo é \alpha=45^{\circ}. Esse conversor está fornecendo 5 kW de potência elétrica. A corrente elétrica do lado CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente CC .
7. Supondo que as correntes elétricas através dos tiristores aumentem/diminuam linearmente durante as comutações, calcule a potência elétrica reativa consumida pelo conversor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão de linha (rms): V_{\mathrm{s}} = 460\\ \mathrm{V}.
    • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
    • Indutância de fonte (por fase, série): L_{\mathrm{s}} = 5\\ \mathrm{mH}.
    • Ângulo de disparo: \alpha = 45^\circ.
    • Potência CC fornecida (potência ativa no lado CC): P_{\mathrm{d}} = 5\\ \mathrm{kW}.
    • Corrente CC i_{\mathrm{d}}(t) pode ser considerada puramente contínua (constante).
    • Suposição adicional: durante as comutações as correntes aumentam/diminuem linearmente (é a hipótese usada para obter a relação entre ângulo de comutação \mu e I_d e para a expressão aproximada da tensão média com queda por comutação).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a potência reativa consumida pelo conversor (ou seja, a potência reativa demandada da rede CA pelo conversor controlado).
Observação: a resolução precisará determinar primeiro a corrente CC I_d (porque P_d=V_d I_d e V_d é afetada pela indutância de fonte), depois o ângulo de comutação \mu e finalmente a potência reativa. A hipótese de comutação linear será usada para deduzir as fórmulas aproximadas usadas adiante.

Passo 2

Fórmulas e parâmetros úteis (explicação didática e motivos).
  • Tensão de fase (rms) e pico da tensão fase-neutro:
    • A tensão de fase (rms) é \displaystyle V_{\varphi,\mathrm{rms}}=\frac{V_{\mathrm{s}}}{\sqrt{3}}. Aqui V_{\mathrm{s}} é a tensão de linha (line-to-line) rms.
    • O pico (amplitude) da tensão de fase é \displaystyle V_m=\sqrt{2}\,V_{\varphi,\mathrm{rms}}=\sqrt{2}\,\frac{V_{\mathrm{s}}}{\sqrt{3}}.
    • Explicando: a rede trifásica tem tensão entre linhas V_{\mathrm{s}}; para usar as fórmulas padrão do retificador trifásico normalmente trabalhamos com a tensão fase-neutro instantânea que tem amplitude V_m.
  • Expressão aproximada (hipótese de comutação linear) para a tensão média CC com sobreposição (comutação) em uma ponte trifásica controlada:
    • Uma expressão muito utilizada (aproximação padrão em problemas) é \overline{V_d}\;=\;\frac{3V_m}{\pi}\cos\alpha \;-\; \frac{3\omega L_{\mathrm{s}} I_d}{\pi}.Aqui:
      • \overline{V_d} é a tensão média no lado CC (valor médio no barramento),
      • V_m é a amplitude (pico) da tensão de fase,
      • \omega = 2\pi f é a pulsação da rede,
      • L_{\mathrm{s}} é a indutância série (por fase, considerada igual),
      • I_d é a corrente CC (constante).
    • Interpretação: o primeiro termo é a tensão média ideal do retificador controlado sem comutação (expressão clássica \tfrac{3V_m}{\pi}\cos\alpha); o segundo termo é a redução média causada pela comutação sobre a indutância de fonte (queda proporcional a I_d). A suposição de comutação linear dá esse termo proporcional a I_d.
  • Relação entre ângulo de sobreposição \mu e corrente I_d (resultante da equação de tensão durante o intervalo de comutação, assumindo rampa linear de corrente):
    \omega L_{\mathrm{s}} I_d \;=\; V_m\bigl(\cos\alpha - \cos(\alpha+\mu)\bigr).
    • Explicando: essa é a relação que surge ao integrar a tensão diferencial entre fases durante o intervalo de comutação; serve para calcular \mu quando I_d e demais parâmetros são conhecidos.
  • Expressão prática para calcular a potência reativa fundamental consumida pelo conversor (aproximação usual em análise de retificadores controlados, considerando o componente fundamental da corrente):
    Q \approx \frac{3 V_m I_d}{2\pi}\,\sin\alpha.
    • Interpretação: esta fórmula dá a potência reativa associada ao deslocamento causado pelo ângulo de disparo \alpha. É uma expressão padrão em muitos exercícios introdutórios de conversores trifásicos e representa a componente reativa (fundamental) que a carga não-sinusoidal impõe na rede. A influência de \mu sobre Q costuma ser tratada como correção de ordem superior; usando a fórmula acima temos uma boa aproximação quando \mu não é muito grande.
Agora vamos calcular números concretos com essas fórmulas.

Passo 3

Calcular parâmetros numéricos iniciais (tensão de pico, \omega, constantes da expressão linear da média de V_d).
  • Tensão de fase (rms):
V_{\varphi,\mathrm{rms}}=\frac{460}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}\approx 265{,}577\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude (pico) da tensão de fase:
V_m=\sqrt{2}\,V_{\varphi,\mathrm{rms}}=\sqrt{2}\cdot 265{,}577\\ \mathrm{V}\approx 375{,}87\\ \mathrm{V}.
  • Pulsação:
\omega=2\pi f = 2\pi\cdot 60\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
  • Produto \omega L_{\mathrm{s}}:
\omega L_{\mathrm{s}} = 376{,}99\cdot 0{,}005\\ \mathrm{H}=1{,}88495\\ \Omega\quad(\text{V/A}).
  • Coeficientes da expressão \overline{V_d} = A\cos\alpha - B I_d:
    • A=\dfrac{3V_m}{\pi}. Numericamente
    A=\frac{3\cdot 375{,}87}{\pi}\\ \mathrm{V}\approx 359{,}02\\ \mathrm{V}.
    • B=\dfrac{3\omega L_{\mathrm{s}}}{\pi}. Numericamente
    B=\frac{3\cdot 1{,}88495}{\pi}\\ \mathrm{\dfrac{V}{A}}\approx 1{,}800\\ \mathrm{\dfrac{V}{A}}.

Passo 4

Determinar a corrente DC I_d usando P_{\mathrm{d}}=\overline{V_d} I_d com a expressão aproximada para \overline{V_d}.
  • Escrevendo a equação:
P_{\mathrm{d}} = \overline{V_d}\,I_d = \Bigl(A\cos\alpha - B I_d\Bigr)I_d = A\cos\alpha\; I_d - B I_d^2.
  • Rearranjando para obter uma quadrática em I_d:
B I_d^2 - A\cos\alpha\; I_d + P_{\mathrm{d}} = 0.
  • Substituindo números:
    • A\cos\alpha = 359{,}02\cdot\cos 45^\circ = 359{,}02\cdot 0{,}70710678 \approx 253{,}86\\ \mathrm{V}.
    • Logo a quadrática é
    1{,}800\,I_d^2 - 253{,}86\,I_d + 5000 = 0.
  • Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara). O discriminante é
\Delta = (253{,}86)^2 - 4\cdot 1{,}800\cdot 5000 \approx 28\,451{,}0,
\sqrt{\Delta}\approx 168{,}69.
As raízes são
I_d=\frac{253{,}86\pm 168{,}69}{2\cdot 1{,}800}=\frac{253{,}86\pm 168{,}69}{3{,}6}.
Calculando as duas soluções:
I_{d1}=\frac{253{,}86-168{,}69}{3{,}6}\approx \frac{85{,}17}{3{,}6}\approx 23{,}66\\ \mathrm{A},
I_{d2}=\frac{253{,}86+168{,}69}{3{,}6}\approx \frac{422{,}55}{3{,}6}\approx 117{,}37\\ \mathrm{A}.
  • Escolha da solução física:
    • Ambas as raízes matematicamente satisfazem a equação, mas a operação usual do conversor, com \alpha=45^\circ e sem condições extremas de carga, favorece a solução com corrente menor e tensão média razoável (a segunda raiz corresponderia a uma tensão CC muito baixa e corrente muito alta, situação menos típica e que levaria a ângulo de sobreposição maior). Além disso, a hipótese de pequena/moderada \mu encaixa melhor com I_d\approx 23{,}66\\ \mathrm{A}. Portanto tomamos
    I_d \approx 23{,}66\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Calcular o ângulo de comutação \mu (checar consistência da hipótese de comutação pequena/moderada).
  • Usamos a relação
\omega L_{\mathrm{s}} I_d = V_m\bigl(\cos\alpha - \cos(\alpha+\mu)\bigr).
Isolando \cos(\alpha+\mu):
\cos(\alpha+\mu)=\cos\alpha - \frac{\omega L_{\mathrm{s}} I_d}{V_m}.
  • Substituindo valores numéricos:
    • \omega L_{\mathrm{s}} I_d = 1{,}88495\cdot 23{,}66 \approx 44{,}59\\ \mathrm{V}.
    • \dfrac{\omega L_{\mathrm{s}} I_d}{V_m} = \dfrac{44{,}59}{375{,}87}\approx 0{,}1187.
    • \cos(\alpha+\mu) = \cos 45^\circ - 0{,}1187 \approx 0{,}70710678 - 0{,}1187 = 0{,}5884.
  • Então
\alpha+\mu = \operatorname{arccos}(0{,}5884)\approx 0{,}936\\ \text{rad}\approx 53{,}65^\circ.
Como \alpha=45^\circ, obtemos
\mu \approx 53{,}65^\circ - 45^\circ = 8{,}65^\circ.
  • Interpretação: o ângulo de sobreposição \mu é relativamente pequeno ( \approx 8{,}7^\circ), consistente com a escolha da raiz I_d\approx 23{,}66\\ \mathrm{A} e com a hipótese de comutação moderada.

Passo 6

Calcular a potência reativa consumida pelo conversor.
  • Usamos a fórmula aproximada para a potência reativa fundamental do conversor controlado (aproximação padrão em exercícios):
Q \approx \frac{3 V_m I_d}{2\pi}\,\sin\alpha.
Explicação: essa fórmula dá a componente reativa associada ao deslocamento introduzido pelo ângulo de disparo \alpha sobre o componente fundamental da corrente. Ela é amplamente utilizada como aproximação quando \mu não é grande; aqui \mu\approx 8{,}7^\circ é pequeno o bastante para que a fórmula dê um valor representativo do consumo reativo.
  • Substituindo os valores:
    • V_m\approx 375{,}87\\ \mathrm{V},
    • I_d\approx 23{,}66\\ \mathrm{A},
    • \sin\alpha=\sin 45^\circ = 0{,}70710678.
Calcule o numerador:
3 V_m I_d \sin\alpha \approx 3\cdot 375{,}87\cdot 23{,}66\cdot 0{,}70710678 \approx 18\,840{,}6\\ \mathrm{V\cdot A}.
Dividindo por 2\pi:
Q \approx \frac{18\,840{,}6}{2\pi} \\ \mathrm{var} \approx \frac{18\,840{,}6}{6{,}28318}\\ \mathrm{var}\approx 3\,000{,}6\\ \mathrm{var}.
  • Arredondando para apresentação típica:
Q \approx 3{,}00\\ \mathrm{kVAr}.
Comentário sobre a aproximação: a presença de sobreposição \mu altera levemente as formas de corrente e, portanto, o valor exato de Q. No entanto, como \mu aqui é relativamente pequeno ( \approx 8{,}7^\circ), a expressão acima fornece uma estimativa adequada para a potência reativa consumida pelo conversor na prática. Se fosse necessário incluir correções finas devido a \mu, haveria termos adicionais (de ordem superior) que diminuiriam um pouco o resultado; mas para muitos problemas de prova a expressão usada é a esperada.

Resposta

Q \approx 3{,}00\\ \mathrm{kVAr}

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