A current filament carrying 15 A in the \mathbf{a}_{z} direction lies along the entire z axis. Find \mathbf{H} in cartesian coordinates at:
P_{A}(\sqrt{20}, 0,4);

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Corrente: I=15\\ \text{A} situada ao longo de todo o eixo z e apontando na direção \mathbf{a}_z.
  • Geometria: um filamento (fio) infinito ao longo do eixo z.
  • Ponto onde queremos o campo: P_A\big(\sqrt{20},\,0,\,4\big). Ou seja, x=\sqrt{20}, y=0, z=4.
  • Pedido: encontrar \mathbf{H} em coordenadas cartesianas no ponto P_A.
Anotações úteis (extraídas do enunciado): o filamento é infinito e está sobre o eixo z; a coordenada radial ao eixo z depende apenas de x e y.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (com explicação didática):
  • Para um fio infinito e retilíneo, por simetria o campo magnético (mais precisamente a intensidade magnética \mathbf{H}) forma círculos concêntricos ao redor do eixo do fio e seu módulo depende só da distância radial \rho ao eixo z. Isso significa que \mathbf{H} tem apenas componente azimutal \mathbf{a}_\varphi em coordenadas cilíndricas.
  • A lei de Ampère na forma integral é a ferramenta direta aqui. Ela diz:
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}},
onde C é uma curva fechada e I_{\text{enc}} é a corrente atravessada por essa curva. Explicando símbolos: \mathbf{H} é a intensidade magnética (unidade A/m), d\mathbf{l} é um elemento de comprimento ao longo da curva C.
  • Aplicando Ampère num laço circular de raio \rho centrado no eixo z: por simetria \mathbf{H} tem módulo constante sobre esse círculo e é tangente a ele ( \mathbf{H}=H_\varphi(\rho)\,\mathbf{a}_\varphi). Então a integral fica simples e nos dá a fórmula clássica:
H_\varphi(\rho)=\frac{I}{2\pi \rho}.

Passo 3

Cálculo da distância radial \rho do ponto P_A ao eixo z:
  • Por definição em coordenadas cilíndricas,
\rho=\sqrt{x^2+y^2}.
  • No nosso ponto P_A temos x=\sqrt{20} e y=0, portanto
\rho=\sqrt{\big(\sqrt{20}\big)^2+0^2}=\sqrt{20}.
  • Podemos simplificar \sqrt{20} como 2\sqrt{5}, que é útil para simplificar frações depois.

Passo 4

Aplicar a fórmula obtida pelo Ampère e calcular o módulo de \mathbf{H}:
  • Substituindo em H_\varphi(\rho)=\dfrac{I}{2\pi\rho} com I=15\\ \text{A} e \rho=\sqrt{20}=2\sqrt{5}, obtemos
H_\varphi=\frac{15}{2\pi\sqrt{20}}=\frac{15}{2\pi\,(2\sqrt{5})}=\frac{15}{4\pi\sqrt{5}}.
  • Valor numérico aproximado (usar vírgula como separador decimal):
H_\varphi\approx 0,534\\ \text{A/m}.

Passo 5

Determinar a direção em coordenadas cartesianas e escrever componentes:
  • A direção azimutal unitária em coordenadas cilíndricas é
\mathbf{a}_\varphi = -\sin\varphi\,\mathbf{a}_x + \cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
  • No ponto P_A temos y=0 e x>0, portanto o ângulo azimutal é \varphi=0. Avaliando:
\mathbf{a}_\varphi\big|_{\varphi=0} = -\sin 0\,\mathbf{a}_x + \cos 0\,\mathbf{a}_y = \mathbf{a}_y.
  • Assim, o vetor \mathbf{H} no ponto é apenas na direção \mathbf{a}_y com módulo calculado no passo anterior. (Observação física: isso também vem da regra da mão direita para corrente no sentido +\mathbf{a}_z.)
  • Logo as componentes cartesianas são
H_x=0,\qquad H_y=\frac{15}{4\pi\sqrt{5}},\qquad H_z=0.

Resposta

\displaystyle \mathbf{H}=\frac{15}{4\pi\sqrt{5}}\,\mathbf{a}_y\\ \text{A/m}\approx 0,534\\ \mathbf{a}_y\\ \text{A/m}

Exercícios relacionados