A current filament carrying 15 A in the
direction lies along the entire
axis. Find
in cartesian coordinates at:
P_{A}(\sqrt{20}, 0,4);
P_{A}(\sqrt{20}, 0,4);
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Corrente:
situada ao longo de todo o eixo e apontando na direção . - Geometria: um filamento (fio) infinito ao longo do eixo
. - Ponto onde queremos o campo:
. Ou seja, , , . - Pedido: encontrar
em coordenadas cartesianas no ponto .
Anotações úteis (extraídas do enunciado): o filamento é infinito e está sobre o eixo
; a coordenada radial ao eixo
depende apenas de
e
.
Passo 2
Escolha do método e ideia física (com explicação didática):
- Para um fio infinito e retilíneo, por simetria o campo magnético (mais precisamente a intensidade magnética
) forma círculos concêntricos ao redor do eixo do fio e seu módulo depende só da distância radial ao eixo . Isso significa que tem apenas componente azimutal em coordenadas cilíndricas. - A lei de Ampère na forma integral é a ferramenta direta aqui. Ela diz:
onde
é uma curva fechada e
é a corrente atravessada por essa curva. Explicando símbolos:
é a intensidade magnética (unidade A/m),
é um elemento de comprimento ao longo da curva
.
- Aplicando Ampère num laço circular de raio
centrado no eixo : por simetria tem módulo constante sobre esse círculo e é tangente a ele ( ). Então a integral fica simples e nos dá a fórmula clássica:
Passo 3
Cálculo da distância radial
do ponto
ao eixo
:
- Por definição em coordenadas cilíndricas,
- No nosso ponto
temos e , portanto
- Podemos simplificar
como , que é útil para simplificar frações depois.
Passo 4
Aplicar a fórmula obtida pelo Ampère e calcular o módulo de
:
- Substituindo em
com e , obtemos
- Valor numérico aproximado (usar vírgula como separador decimal):
Passo 5
Determinar a direção em coordenadas cartesianas e escrever componentes:
- A direção azimutal unitária em coordenadas cilíndricas é
- No ponto
temos e , portanto o ângulo azimutal é . Avaliando:
- Assim, o vetor
no ponto é apenas na direção com módulo calculado no passo anterior. (Observação física: isso também vem da regra da mão direita para corrente no sentido .) - Logo as componentes cartesianas são