Considere uma corda submetida a uma tensão tau=90 N, fixa em duas extremidades situadas em x=0 e x=L. Sabe-se que a corda oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária oriunda da interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
y1(x, t)=52 sen(pi2 x-6 pi t) e y2(x, t)=52 sen(pi2 x+6 pi t)
Nestas circunstâncias, calcule:
(i) a onda estacionária resultante y(x, t), (ii) seu comprimento de onda lambda e (iii) sua frequência f.
Dado: sen alpha+sen beta=2 sen[12(alpha+beta)] cos [12(alpha-beta)].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma corda com tensão $ \tau = 90 , \mathrm{N} $ fixa nas extremidades em $ x = 0 $ e $ x = L $. A corda está oscilando no quarto harmônico de uma onda estacionária, que surge da interferência de duas ondas que se movem em direções opostas. Para resolver isso, vamos precisar entender um que outro conceito de ondas estacionárias, frequência, comprimento de onda e usar a fórmula de adição de senos que foi fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a onda estacionária resultante $ y(x, t) $. Temos duas ondas progressivas:
y(x, t)
y1(x, t) = 52 sin(pi2 x - 6pi t)
A onda estacionária é a soma dessas duas ondas. Para somar as ondas, usamos a fórmula de adição de senos que foi dada:
y2(x, t) = 52 sin(pi2 x + 6pi t)
Aqui, $ \alpha = \frac{\pi}{2} x - 6\pi t $ e $ \beta = \frac{\pi}{2} x + 6\pi t $.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 52 sin(pi2 x - 6pi t) + 52 sin(pi2 x + 6pi t)
= 52 [ sin(pi2 x - 6pi t) + sin(pi2 x + 6pi t) ]
Aplicando a fórmula:
= 52 cdot 2 sin( (pi2 x - 6pi t) + (pi2 x + 6pi t)2) cos( (pi2 x - 6pi t) - (pi2 x + 6pi t)2)

Passo 4

Simplificando os argumentos:
Para o seno:
(pi2 x - 6pi t) + (pi2 x + 6pi t)2 = pi x 2
Para o cosseno:
(pi2 x - 6pi t) - (pi2 x + 6pi t)2 = -12pi t 2 = -6pi t
Então:
y(x, t) = 52 cdot 2 sin(pi2 x) cos(-6pi t)
Como $ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $, temos:
cos(-theta) = cos(theta)

Passo 5

Agora, temos a onda estacionária resultante:
y(x, t) = 5 sin(pi2 x) cos(6pi t)
Isso responde a parte (i) do exercício.

Passo 6

Vamos para a parte (ii), que pede o comprimento de onda $ \lambda $.
Sabemos que a corda está vibrando no quarto harmônico. A fórmula para os harmônicos de uma corda fixa nas duas extremidades é:
lambda
Onde $ n $ é o número do harmônico. Aqui, $ n = 4 $.
Por isso:
lambdan = 2Ln
Então, o comprimento de onda é $ \lambda = \frac{L}{2} $.

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar a frequência $ f $ da onda. Sabemos que a frequência está relacionada com a velocidade da onda $ v $ e o comprimento de onda $ \lambda $ através da fórmula:
f
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da onda na corda. A velocidade de uma onda em uma corda é dada por:
v
Onde $ \tau $ é a tensão e $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento. Porém, como não foi fornecida a massa ou $ \mu $, vamos usar outra abordagem.
Sabemos que a frequência angular $ \omega $ está relacionada com a frequência $ f $ por:
lambda
No exercício, a frequência angular é $ 6\pi , rad/s $, então:
v = lambda f

Resposta

(i) A onda estacionária resultante é $ y(x, t) = 5 \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) \cos(6\pi t) $.
(ii) O comprimento de onda é $ \lambda = \frac{L}{2} $.
(iii) A frequência da onda é $ f = 3 , Hz $.

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