Considere uma corda submetida a uma tensão tau=90 N, fixa em duas extremidades situadas em x=0 e x=L. Sabe-se que a corda oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária oriunda da interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
y1(x, t)=52 sen(pi2 x-6 pi t) e y2(x, t)=52 sen(pi2 x+6 pi t)
Nestas circunstâncias, calcule:
O comprimento da corda L.
Dado: sen alpha+sen beta=2 sen[12(alpha+beta)] cos [12(alpha-beta)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma corda, com tensão τ = 90 N e presa em x=0 e x=L, recebe duas ondas progressivas
y₁(x,t) = (5/2)·sen( (π/2)x – 6πt )
y₂(x,t) = (5/2)·sen( (π/2)x + 6πt )
e que isso gera uma onda estacionária no quarto harmônico. Precisamos achar o comprimento L da corda.
Conteúdo que vamos usar:
  • Superposição de ondas e identidade trigonométrica sen α + sen β = 2 sen[(α+β)/2] cos[(α–β)/2]
  • Relação entre número de onda k, comprimento de onda λ e harmônicos de uma corda fixa nas duas pontas.

Passo 2

Primeiro, a gente junta y₁ + y₂ usando a identidade dada:
sen α + sen β = 2 sen[(α+β)/2] cos[(α–β)/2]
Aqui α = (π/2)x – 6πt e β = (π/2)x + 6πt.
Então
y(x,t) = y₁ + y₂
= (5/2)[sen α + sen β]
= (5/2)·2 sen[(α+β)/2]·cos[(α–β)/2]
= 5·sen[ ((π/2)x – 6πt + (π/2)x + 6πt)/2 ] · cos[ ((π/2)x – 6πt – (π/2)x – 6πt)/2 ]
= 5·sen( πx/2 ) · cos( –6πt )
Como cos(–6πt) = cos(6πt), temos
y(x,t) = 5·sen( (π/2)x ) · cos(6πt ).
Daí identificamos:
k = π/2 (número de onda)
ω = 6π (frequência angular)

Passo 3

Sabendo k = 2π/λ, a gente encontra o comprimento de onda λ:
k = π/2 ⇒ 2π/λ = π/2 ⇒ λ = 4 m.
Agora, para uma corda fixa nas duas pontas, o n-ésimo harmônico (n nós além de 0 e L) satisfaz
L = n·(λ/2).
Como disseram que é o quarto harmônico, n = 4.

Passo 4

Então basta usar:
L = 4·(λ/2) = 4·(4 m / 2) = 4·2 m = 8 m.

Resposta

O comprimento da corda é L = 8 m.

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