1. Considere um corpo girando livremente em torno de um eixo fixo. Aplique as regras de quantização de Wilson-Sommerfeld e mostre que os valores possíveis para a energia total são:
E=\frac{\hbar^{2}}{2 I} n^{2}
onde \mathrm{n}=0,1,2 \ldots.

Passo 1

O enunciado dá um corpo rígido girando livremente em torno de um eixo fixo e pede para, usando as regras de quantização de Wilson–Sommerfeld, mostrar os valores possíveis da energia total. Informações e o que é pedido:
  • Há um grau de liberdade rotacional descrito pelo ângulo \varphi (coord. generalizada).
  • O momento de inércia em torno do eixo é I (constante positiva).
  • Quer-se demonstrar que os valores permitidos da energia são E=\frac{\hbar^{2}}{2 I}n^{2}
com n=0,1,2,\ldots.

Passo 2

Escrevendo a mecânica clássica do rotador livre (aulas rápidas, sem pular passos).
  • A coordenada generalizada é o ângulo \varphi. A velocidade generalizada é \dot\varphi (derivada temporal de \varphi).
  • A energia cinética de rotação (como não há potencial) é a energia total: T=E=\tfrac{1}{2}I\dot\varphi^{2}.
Expliquei: I é o momento de inércia (unidades: \mathrm{kg\cdot m^{2}}), \dot\varphi tem unidades de rad/s, então \tfrac{1}{2}I\dot\varphi^{2} tem unidades de energia.
  • A lagrangiana do sistema é L_{\text{Lag}}=T-V=\tfrac{1}{2}I\dot\varphi^{2} (como V=0). A partir daí definimos o momento conjugado à coord. \varphi pela regra
p_{\varphi}=\frac{\partial L_{\text{Lag}}}{\partial\dot\varphi}.
Calculando:
p_{\varphi}=I\dot\varphi.
Comentário didático: p_{\varphi} é justamente o momento angular em torno do eixo (o símbolo p_{\varphi} representa o momento conjugado à coordenada angular \varphi).
  • A hamiltoniana (energia total) em função de p_{\varphi} é obtida por \,H=\dfrac{p_{\varphi}^{2}}{2I}\,. Em outras palavras:
E=H=\frac{p_{\varphi}^{2}}{2I}.
Expliquei: basta isolar \dot\varphi=p_{\varphi}/I e substituir em \tfrac{1}{2}I\dot\varphi^{2}.

Passo 3

Apresentando a regra de quantização de Wilson–Sommerfeld (explicação didática).
  • A regra de Wilson–Sommerfeld para sistemas com coordenada periódica q e momento conjugado p diz que o “ação” ao longo de um ciclo clássico é quantizado:
\oint p\,dq = n h,
onde h é a constante de Planck e n é um inteiro (o número quântico). Aqui a integral de contorno \oint é feita sobre um ciclo completo da coordenada q.
  • Interpretação simples: o integral \oint p\,dq mede a área no espaço de fases ocupada por um ciclo; a hipótese de Wilson–Sommerfeld impõe que essa área seja um múltiplo inteiro de h.
  • Lembrete útil: \hbar é a constante reduzida definida por \hbar=\dfrac{h}{2\pi}.

Passo 4

Aplicando a regra ao rotador livre.
  • No nosso caso a coordenada periódica é q=\varphi e o momento conjugado é p_{\varphi}.
  • Para o rotador livre, p_{\varphi} é constante no tempo (não há torque), logo ao integrar sobre um ciclo completo de \varphi (variando de 0 a 2\pi) temos
\oint p_{\varphi}\,d\varphi = p_{\varphi}\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi p_{\varphi}.
  • Usando a condição de quantização \oint p_{\varphi}\,d\varphi = n h obtemos
2\pi p_{\varphi} = n h.
  • Isolando p_{\varphi}:
p_{\varphi} = \frac{n h}{2\pi} = n\hbar.
Expliquei: aqui n é um inteiro. Fisicamente p_{\varphi}=n\hbar significa que o momento angular é quantizado em múltiplos de \hbar.

Passo 5

Obtendo os níveis de energia a partir do momento angular quantizado.
  • Sabemos que \,E=\dfrac{p_{\varphi}^{2}}{2I}\,. Substituindo p_{\varphi}=n\hbar temos
E=\frac{(n\hbar)^{2}}{2I}=\frac{\hbar^{2}}{2I}\,n^{2}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • \hbar: constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi});
    • I: momento de inércia do corpo em torno do eixo fixo;
    • n: número inteiro que rotula os níveis de energia.

Passo 6

Comentários finais e sobre os valores de n.
  • A regra dá n\in\mathbb{Z} (inteiros positivos, negativos e zero). Como a energia depende de n^{2}, os níveis de energia são os mesmos para n e -n (dupla degenerescência para n\neq0). Para listar níveis distintos de energia normalmente tomamos n=0,1,2,\ldots.
  • Conclusão: os valores permitidos da energia do rotador livre são exatamente \displaystyle E=\dfrac{\hbar^{2}}{2I}n^{2} com n=0,1,2,\ldots.

Resposta

E=\frac{\hbar^{2}}{2 I}n^{2},\qquad n=0,1,2,\ldots

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