- Considere um corpo girando livremente em torno de um eixo fixo. Aplique as regras de quantização de Wilson-Sommerfeld e mostre que os valores possíveis para a energia total são:
onde
.
Passo 1
O enunciado dá um corpo rígido girando livremente em torno de um eixo fixo e pede para, usando as regras de quantização de Wilson–Sommerfeld, mostrar os valores possíveis da energia total. Informações e o que é pedido:
- Há um grau de liberdade rotacional descrito pelo ângulo
(coord. generalizada). - O momento de inércia em torno do eixo é
(constante positiva). - Quer-se demonstrar que os valores permitidos da energia são
com
.
Passo 2
Escrevendo a mecânica clássica do rotador livre (aulas rápidas, sem pular passos).
- A coordenada generalizada é o ângulo
. A velocidade generalizada é (derivada temporal de ). - A energia cinética de rotação (como não há potencial) é a energia total:
Expliquei:
é o momento de inércia (unidades:
),
tem unidades de rad/s, então
tem unidades de energia.
- A lagrangiana do sistema é
(como ). A partir daí definimos o momento conjugado à coord. pela regra
Calculando:
Comentário didático:
é justamente o momento angular em torno do eixo (o símbolo
representa o momento conjugado à coordenada angular
).
- A hamiltoniana (energia total) em função de
é obtida por . Em outras palavras:
Expliquei: basta isolar
e substituir em
.
Passo 3
Apresentando a regra de quantização de Wilson–Sommerfeld (explicação didática).
- A regra de Wilson–Sommerfeld para sistemas com coordenada periódica
e momento conjugado diz que o “ação” ao longo de um ciclo clássico é quantizado:
onde
é a constante de Planck e
é um inteiro (o número quântico). Aqui a integral de contorno
é feita sobre um ciclo completo da coordenada
.
- Interpretação simples: o integral
mede a área no espaço de fases ocupada por um ciclo; a hipótese de Wilson–Sommerfeld impõe que essa área seja um múltiplo inteiro de . - Lembrete útil:
é a constante reduzida definida por .
Passo 4
Aplicando a regra ao rotador livre.
- No nosso caso a coordenada periódica é
e o momento conjugado é . - Para o rotador livre,
é constante no tempo (não há torque), logo ao integrar sobre um ciclo completo de (variando de a ) temos
- Usando a condição de quantização
obtemos
- Isolando
:
Expliquei: aqui
é um inteiro. Fisicamente
significa que o momento angular é quantizado em múltiplos de
.
Passo 5
Obtendo os níveis de energia a partir do momento angular quantizado.
- Sabemos que
. Substituindo temos
- Aqui cada símbolo significa:
-
: constante de Planck reduzida ( ); -
: momento de inércia do corpo em torno do eixo fixo; -
: número inteiro que rotula os níveis de energia.
-
Passo 6
Comentários finais e sobre os valores de
.
- A regra dá
(inteiros positivos, negativos e zero). Como a energia depende de , os níveis de energia são os mesmos para e (dupla degenerescência para ). Para listar níveis distintos de energia normalmente tomamos . - Conclusão: os valores permitidos da energia do rotador livre são exatamente
com .