1. Em uma experiência do tipo de Franck-Hertz, bombardeia-se hidrogênio atômico com elétrons e obtêm-se os potenciais de excitação em 10,21 \mathrm{~V} e 12,10 \mathrm{~V}.
c) Suponha que v é a frequência da radiação emitida e determine os comprimentos de onda das linhas espectrais observadas.

Passo 1

O enunciado dá dois potenciais de excitação obtidos na experiência de Franck–Hertz: \,10,21\\ \mathrm{V} e \,12,10\\ \mathrm{V}. Pede-se que, supondo que \nu é a frequência da radiação emitida, sejam determinados os comprimentos de onda das linhas espectrais observadas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Potenciais de excitação: \,V_1=10,21\\ \mathrm{V} e \,V_2=12,10\\ \mathrm{V}.
  • Cada potencial de excitação corresponde à energia entregue ao átomo pelos elétrons que é depois emitida como fóton (energia do fóton igual à energia de excitação).

Passo 2

Conceito chave 1 — relação entre diferença de potencial e energia de um elétron:
Quando um elétron é acelerado por uma diferença de potencial \,V, sua variação de energia é \,E_{\text{el}}=e\cdot V, onde:
  • e é a carga elementar do elétron, e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
    Portanto, a energia do fóton emitido (assumindo que todo o ganho foi convertido em um fóton) é
E = e\cdot V.
Aqui E fica em joules se e está em coulombs e V em volts.

Passo 3

Conceito chave 2 — relação entre energia e frequência do fóton:
A energia de um fóton está ligada à sua frequência \nu pela relação de Planck:
E = h\,\nu,
onde h é a constante de Planck, h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Também a frequência \nu e o comprimento de onda \lambda estão relacionados pela velocidade da luz:
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Combinação útil — expressão direta para o comprimento de onda em função do potencial:
Juntando E=eV e E=h\nu com \nu=c/\lambda, obtemos
h\frac{c}{\lambda}=eV \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{h c}{e V}.
Esta fórmula calcula \lambda diretamente a partir de V. É conveniente usar a forma com h c já conhecida em unidades apropriadas. Valores úteis:
h c = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}
ou, convertendo para unidades de \mathrm{eV\cdot nm},
h c \approx 1239,841984\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Usando a última forma, se V está em volts (ou seja, E em electron-volts), dá para calcular diretamente \lambda em nanômetros por
\lambda(\mathrm{nm})=\frac{1239,841984}{V(\mathrm{eV})},
pois 1\\ \mathrm{eV}=1\\ \mathrm{V}\cdot e.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda para \,V_1=10,21\\ \mathrm{V}:
Aplicando a fórmula em \mathrm{nm},
\lambda_1=\frac{1239,841984}{10,21}\\ \mathrm{nm}.
Fazendo a divisão:
\lambda_1 \approx 121,43\\ \mathrm{nm}.
Explicando a conta de forma simples: divide-se 1239,84 por 10,21 e obtém-se aproximadamente 121,43; o resultado está na escala de nanômetros.

Passo 6

Cálculo do comprimento de onda para \,V_2=12,10\\ \mathrm{V}:
Aplicando a mesma fórmula,
\lambda_2=\frac{1239,841984}{12,10}\\ \mathrm{nm}.
Fazendo a divisão:
\lambda_2 \approx 102,47\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação concisa e dica de prova:
  • Os comprimentos de onda obtidos ( \sim 121\\ \mathrm{nm} e \sim 102\\ \mathrm{nm}) estão no ultravioleta.
  • Em provas, uma maneira rápida é lembrar a fórmula prática \lambda(\mathrm{nm})\approx 1240/E(\mathrm{eV}) para estimativas imediatas; para respostas mais precisas usar 1239,84 no numerador.

Resposta

\lambda_1 \approx 121,43\\ \mathrm{nm}
\lambda_2 \approx 102,47\\ \mathrm{nm}

Exercícios relacionados