1. Em uma experiência do tipo de Franck-Hertz, bombardeia-se hidrogênio atômico com elétrons e obtêm-se os potenciais de excitação em 10,21 \mathrm{~V} e 12,10 \mathrm{~V}.
b) Suponha agora que as diferenças em energia podem ser expressas como hv e obtenha os três valores possíveis de v.

Passo 1

O enunciado fornece duas diferenças de potencial (potenciais de excitação) obtidas no experimento de Franck–Hertz:
  • 10{,}21\\ \mathrm{V}.
  • 12{,}10\\ \mathrm{V}.
A pergunta (item b) pede: supondo que as diferenças de energia correspondentes podem ser escritas como h\nu, obter os três valores possíveis de \nu.
Informações relevantes dadas:
  • Dois saltos de energia (em unidades de potencial elétrico) correspondentes a 10{,}21\\ \mathrm{eV} e 12{,}10\\ \mathrm{eV} (recordando que 1\\ \mathrm{eV} é a energia adquirida por uma carga elementar ao atravessar 1\\ \mathrm{V}).
  • Espera-se obter três frequências porque, se houver três níveis energéticos (por exemplo E_0, E_1, E_2) com E_1-E_0=10{,}21\\ \mathrm{eV} e E_2-E_0=12{,}10\\ \mathrm{eV}, então a terceira transição possível é E_2-E_1 (a diferença entre os dois valores dados).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Energia associada a uma diferença de potencial: para uma carga elementar e (elétron), a energia correspondente a uma diferença de potencial V é
E = e\cdot V.
Aqui E está em joules quando e (a carga do elétron) está em coulombs e V em volts. O valor numérico da carga do elétron é \displaystyle e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Observação prática: quando se escreve “ 10{,}21\\ \mathrm{V}” isso também pode ser lido como energia de 10{,}21\\ \mathrm{eV}, porque 1\\ \mathrm{eV} é justamente e vezes 1\\ \mathrm{V}.
  • Relação de Planck entre energia e frequência:
E = h\nu,
onde h é a constante de Planck e \nu é a frequência. O valor da constante de Planck é \displaystyle h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Assim, para obter a frequência a partir de uma energia:
\nu = \frac{E}{h}.
  • Para evitar fazer duas conversões separadas (eV \to J e depois dividir por h), é útil lembrar ou calcular o fator
\frac{1\\ \mathrm{eV}}{h}=\frac{1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}}{6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}} \approx 2{,}417989242\times10^{14}\\ \mathrm{Hz\\ per\\ eV}.
Isto significa que, numericamente, \nu em hertz é aproximadamente \nu\approx(2{,}417989242\times10^{14})\times(E\\ \text{em eV}).

Passo 3

Calcular a frequência correspondente à primeira diferença de energia 10{,}21\\ \mathrm{eV}.
Usando o fator \dfrac{1\\ \mathrm{eV}}{h}:
\nu_1 = 10{,}21\times\left(2{,}417989242\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}\right).
Agora fazer a multiplicação (mostrando a conta):
2{,}417989242\times10^{14}\times10{,}21 =2{,}417989242\times10^{14}\times(10+0{,}21)
=2{,}417989242\times10^{15}+2{,}417989242\times10^{14}\times0{,}21
=2{,}417989242\times10^{15}+5{,}0777774082\times10^{13} =2{,}468767016082\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma compatível com os algarismos dados (mantendo 5 algarismos significativos por segurança):
\nu_1 \approx 2{,}4688\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular a frequência correspondente à segunda diferença de energia 12{,}10\\ \mathrm{eV}.
Usando o mesmo fator:
\nu_2 = 12{,}10\times\left(2{,}417989242\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}\right).
Cálculo:
2{,}417989242\times10^{14}\times12{,}10 =2{,}417989242\times10^{14}\times(12+0{,}10)
=2{,}417989242\times10^{14}\times12 + 2{,}417989242\times10^{14}\times0{,}10
=2{,}9015870904\times10^{15} + 2{,}417989242\times10^{13} =2{,}92576698282\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando:
\nu_2 \approx 2{,}9258\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular a terceira frequência correspondente à transição entre os dois níveis associados às energias dadas. Essa frequência corresponde à diferença de energias
\Delta E = 12{,}10\\ \mathrm{eV} - 10{,}21\\ \mathrm{eV} = 1{,}89\\ \mathrm{eV}.
Aplicando o fator:
\nu_3 = 1{,}89\times\left(2{,}417989242\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}\right).
Cálculo:
2{,}417989242\times10^{14}\times1{,}89 =2{,}417989242\times10^{14}\times(1+0{,}89)
=2{,}417989242\times10^{14} + 2{,}15101042538\times10^{14} =4{,}56899966738\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando:
\nu_3 \approx 4{,}5690\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Resumo e dica rápida para a prova: sempre converta eV para joules (ou use o fator 1\\ \mathrm{eV}/h) e aplique \nu=E/h. Ao ver dois valores de excitação, verifique também a diferença entre eles — geralmente corresponde a outra linha espectral possível (transição entre os dois estados excitados).

Resposta

\nu_1 = 2{,}4688\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}
\nu_2 = 2{,}9258\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}
\nu_3 = 4{,}5690\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}

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