Considere um corpo de massa
pendurado no teto por uma mola, de comprimento
e constante elástica
que oscila tanto na direção da mola, quanto oscila como um pêndulo simples.
Encontre a energia mecânica do sistema em coordenadas cartesianas e coordenadas polares.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede: encontrar a energia mecânica do sistema (energia cinética + energia potencial) em duas formas de coordenadas:
- coordenadas cartesianas;
- coordenadas polares.
- Dados do problema (vou usar nomes comuns):
- massa
; - mola com constante elástica
e comprimento natural (ou comprimento de referência) ; - o ponto de fixação da mola está no teto e será tomado como origem do sistema de coordenadas;
- a massa pode se mover no plano, então tem movimento bidimensional (oscila radialmente na mola e faz movimento oscilatório angular tipo pêndulo).
- massa
- Convenções que vou usar (escolhas para formular as energias; são convenções usuais):
- origem no ponto de fixação da mola;
- coordenadas cartesianas
com medido para baixo (assim a gravidade dá energia potencial crescente com ); - coordenadas polares
com sendo a distância da origem até a massa e o ângulo que a mola faz com a vertical; escolhi quando a mola está vertical para baixo, e sinais convencionais para como usual.
- A resolução começa agora: vou montar a energia cinética e as energias potenciais (gravidade e mola) em cada sistema de coordenadas e mostrar as relações entre elas.
Passo 2
Energia mecânica em coordenadas cartesianas — definições e termos.
- Posição do ponto material em coordenadas cartesianas:
onde é o comprimento instantâneo da mola (distância entre massa e ponto de fixação). - Velocidade e energia cinética:
- A velocidade escalar ao quadrado é
. - A energia cinética é a forma clássica
Explicação rápida: a energia cinética de uma partícula de massa é , e aqui . - A velocidade escalar ao quadrado é
- Energia potencial gravitacional:
- Tomando referência de potencial tal que
na origem (ponto de fixação), a energia potencial gravitacional é
onde é a aceleração da gravidade e é positivo para baixo segundo nossa convenção. - Observação: qualquer constante adicionada a
apenas muda a referência, a dinâmica não muda.
- Tomando referência de potencial tal que
- Energia potencial elástica da mola:
- A mola está esticada/contraída em relação ao seu comprimento de referência
. A deformação é . - Energia elástica da mola (modelo de Hooke) é
- A mola está esticada/contraída em relação ao seu comprimento de referência
- Energia mecânica total em coordenadas cartesianas:
Aqui cada termo tem interpretação física clara: cinética por movimento nos eixos, potencial gravitacional devido à altura vertical, potencial elástico devido à extensão da mola.
Passo 3
Passagem para coordenadas polares — definições e relações.
- Definições das coordenadas polares usadas:
Relações entre cartesianas e polares (com nossa escolha do ângulo medido a partir da vertical): Explicação: medir a partir da vertical é conveniente porque o movimento angular do pêndulo é exatamente . - Observação: essas relações fixam a interpretação física de
como a “deflexão do pêndulo”.
Passo 4
Energia cinética em coordenadas polares — cálculo detalhado (mostrando o cancelamento dos termos cruzados).
- Calcule as componentes de velocidade derivando
e :
(Derivação: aplicar regra da cadeia em
e
.)
- Agora escrevo
e mostro a simplificação: porque os termos cruzados com sinais opostos se cancelam e . - Portanto a energia cinética em coordenadas polares fica a forma simples e muito conhecida:
Interpretação: é a energia associada à variação radial (esticamento/encurtamento da mola) e é a energia rotacional/pendular (energia associada ao movimento angular).]
Passo 5
Potenciais em coordenadas polares e energia total no sistema polar.
- Potencial elástico da mola: a deformação continua sendo
, então (Aqui usei explicitamente em vez de .) - Potencial gravitacional: com a mesma referência (origem no ponto de fixação), e lembrando que
, Observação sobre sinal: com positivo para baixo, o potencial cresce quando a massa vai para baixo; poderia escolher referência diferente adicionando constante, mas isso não altera as equações de movimento. - Energia mecânica total em coordenadas polares:
Cada termo tem interpretação física direta: radial cinética, angular cinética, potencial gravitacional dependente de e , e potencial da mola dependente de .
Passo 6
Verificação rápida e comentários finais úteis para a prova.
- Verificação: substituindo
e na expressão em coordenadas cartesianas obtém-se exatamente a expressão em coordenadas polares mostrada, porque e . - Observações práticas para a prova:
- Sempre defina claramente origem e sinais (por exemplo, escolha se
positivo para cima ou para baixo) e mantenha consistência ao escrever . - Em muitos problemas de pequenas oscilações pode-se linearizar para obter acoplamento entre modos radial e angular; aqui mantive a expressão exata sem aproximações.
- Se quiser a energia mecânica conservada, é esta expressão
(assumindo ausência de forças dissipativas).
- Sempre defina claramente origem e sinais (por exemplo, escolha se
- Pronto — agora você tem as duas formas da energia mecânica e sabe derivá-las passo a passo a partir das relações geométricas entre as coordenadas.