Considere um corpo de massa m pendurado no teto por uma mola, de comprimento l e constante elástica k que oscila tanto na direção da mola, quanto oscila como um pêndulo simples.
Encontre a energia mecânica do sistema em coordenadas cartesianas e coordenadas polares.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: encontrar a energia mecânica do sistema (energia cinética + energia potencial) em duas formas de coordenadas:
    1. coordenadas cartesianas;
    2. coordenadas polares.
  • Dados do problema (vou usar nomes comuns):
    • massa \,m;
    • mola com constante elástica \,k e comprimento natural (ou comprimento de referência) \,l;
    • o ponto de fixação da mola está no teto e será tomado como origem do sistema de coordenadas;
    • a massa pode se mover no plano, então tem movimento bidimensional (oscila radialmente na mola e faz movimento oscilatório angular tipo pêndulo).
  • Convenções que vou usar (escolhas para formular as energias; são convenções usuais):
    • origem no ponto de fixação da mola;
    • coordenadas cartesianas (x,y) com y medido para baixo (assim a gravidade dá energia potencial mg y crescente com y);
    • coordenadas polares (r,\theta) com r sendo a distância da origem até a massa e \theta o ângulo que a mola faz com a vertical; escolhi \theta=0 quando a mola está vertical para baixo, e sinais convencionais para \theta como usual.
  • A resolução começa agora: vou montar a energia cinética e as energias potenciais (gravidade e mola) em cada sistema de coordenadas e mostrar as relações entre elas.

Passo 2

Energia mecânica em coordenadas cartesianas — definições e termos.
  • Posição do ponto material em coordenadas cartesianas: (x,y),\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}onde r é o comprimento instantâneo da mola (distância entre massa e ponto de fixação).
  • Velocidade e energia cinética:
    • A velocidade escalar ao quadrado é \dot x^{2}+\dot y^{2}.
    • A energia cinética é a forma clássica
    T=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot x^{2}+\dot y^{2}\bigr).Explicação rápida: a energia cinética de uma partícula de massa \,m é \tfrac12 m v^{2}, e aqui v^{2}=\dot x^{2}+\dot y^{2}.
  • Energia potencial gravitacional:
    • Tomando referência de potencial tal que V_{g}=0 na origem (ponto de fixação), a energia potencial gravitacional é
    V_{g}=m g y,onde g é a aceleração da gravidade e y é positivo para baixo segundo nossa convenção.
    • Observação: qualquer constante adicionada a V_{g} apenas muda a referência, a dinâmica não muda.
  • Energia potencial elástica da mola:
    • A mola está esticada/contraída em relação ao seu comprimento de referência \,l. A deformação é \,r-l.
    • Energia elástica da mola (modelo de Hooke) é
    V_{s}=\tfrac{1}{2}k\bigl(r-l\bigr)^{2}=\tfrac{1}{2}k\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-l\bigr)^{2}.
  • Energia mecânica total em coordenadas cartesianas: E=T+V_{g}+V_{s}=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot x^{2}+\dot y^{2}\bigr)+m g y+\tfrac{1}{2}k\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-l\bigr)^{2}.Aqui cada termo tem interpretação física clara: cinética por movimento nos eixos, potencial gravitacional devido à altura vertical, potencial elástico devido à extensão da mola.

Passo 3

Passagem para coordenadas polares — definições e relações.
  • Definições das coordenadas polares usadas: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\text{o ângulo entre a mola e a vertical (}\theta=0\text{ quando a mola está vertical para baixo).}âáRelações entre cartesianas e polares (com nossa escolha do ângulo medido a partir da vertical): x=r\sin\theta,\qquad y=r\cos\theta.Explicação: medir \theta a partir da vertical é conveniente porque o movimento angular do pêndulo é exatamente \theta.
  • Observação: essas relações fixam a interpretação física de \theta como a “deflexão do pêndulo”.

Passo 4

Energia cinética em coordenadas polares — cálculo detalhado (mostrando o cancelamento dos termos cruzados).
  • Calcule as componentes de velocidade derivando x e y: \dot x=\dot r\sin\theta + r\cos\theta\,\dot\theta,
\dot y=\dot r\cos\theta - r\sin\theta\,\dot\theta.
(Derivação: aplicar regra da cadeia em x=r\sin\theta e y=r\cos\theta.)
  • Agora escrevo \dot x^{2}+\dot y^{2} e mostro a simplificação: \begin{aligned} \dot x^{2}+\dot y^{2} &=\bigl(\dot r\sin\theta + r\cos\theta\,\dot\theta\bigr)^{2} +\bigl(\dot r\cos\theta - r\sin\theta\,\dot\theta\bigr)^{2}\\[4pt] &=\dot r^{2}\sin^{2}\theta +2\dot r\,r\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta + r^{2}\cos^{2}\theta\,\dot\theta^{2}\\\ &\quad +\dot r^{2}\cos^{2}\theta -2\dot r\,r\sin\theta\cos\theta\,\dot\theta + r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot\theta^{2}\\[4pt] &=\dot r^{2}\bigl(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\bigr)+r^{2}\dot\theta^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)\\[4pt] &=\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}, \end{aligned}porque os termos cruzados com sinais opostos se cancelam e \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
  • Portanto a energia cinética em coordenadas polares fica a forma simples e muito conhecida: T=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\bigr).Interpretação: \tfrac12 m\dot r^{2} é a energia associada à variação radial (esticamento/encurtamento da mola) e \tfrac12 m r^{2}\dot\theta^{2} é a energia rotacional/pendular (energia associada ao movimento angular).]

Passo 5

Potenciais em coordenadas polares e energia total no sistema polar.
  • Potencial elástico da mola: a deformação continua sendo r-l, então V_{s}=\tfrac{1}{2}k\bigl(r-l\bigr)^{2}.(Aqui usei explicitamente r em vez de \sqrt{x^{2}+y^{2}}.)
  • Potencial gravitacional: com a mesma referência (origem no ponto de fixação), e lembrando que y=r\cos\theta, V_{g}=m g y = m g r\cos\theta.Observação sobre sinal: com y positivo para baixo, o potencial m g r\cos\theta cresce quando a massa vai para baixo; poderia escolher referência diferente adicionando constante, mas isso não altera as equações de movimento.
  • Energia mecânica total em coordenadas polares: E=T+V_{g}+V_{s}=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\bigr)+m g r\cos\theta+\tfrac{1}{2}k\bigl(r-l\bigr)^{2}.Cada termo tem interpretação física direta: radial cinética, angular cinética, potencial gravitacional dependente de \theta e r, e potencial da mola dependente de r.

Passo 6

Verificação rápida e comentários finais úteis para a prova.
  • Verificação: substituindo x=r\sin\theta e y=r\cos\theta na expressão em coordenadas cartesianas obtém-se exatamente a expressão em coordenadas polares mostrada, porque \dot x^{2}+\dot y^{2}=\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2} e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
  • Observações práticas para a prova:
    • Sempre defina claramente origem e sinais (por exemplo, escolha se y positivo para cima ou para baixo) e mantenha consistência ao escrever V_{g}.
    • Em muitos problemas de pequenas oscilações pode-se linearizar para obter acoplamento entre modos radial e angular; aqui mantive a expressão exata sem aproximações.
    • Se quiser a energia mecânica conservada, é esta expressão E (assumindo ausência de forças dissipativas).
  • Pronto — agora você tem as duas formas da energia mecânica e sabe derivá-las passo a passo a partir das relações geométricas entre as coordenadas.

Resposta

E_{\text{cartesiano}}=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot x^{2}+\dot y^{2}\bigr)+m g y+\tfrac{1}{2}k\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-l\bigr)^{2}
E_{\text{polar}}=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\bigr)+m g r\cos\theta+\tfrac{1}{2}k\bigl(r-l\bigr)^{2}

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