Considere um corpo de massa m pendurado no teto por uma mola, de comprimento l e constante elástica k, que oscila verticalmente.
Encontre a energia mecânica do sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um corpo de massa m está preso ao teto por uma mola de comprimento natural l e constante elástica k.
  • O corpo oscila na direção vertical (para baixo e para cima).
    O que o problema pede:
  • Encontrar a energia mecânica do sistema (isto é, a expressão que combina energia cinética e energias potenciais relevantes).

Passo 2

Escolhas de coordenadas e convenções (muito importante para não se perder com sinais):
  • Vamos medir a posição do corpo por x(t): distância vertical do ponto de fixação (teto) até a massa, tomando a direção para baixo como positiva. Assim x=l significa que a mola está sem alongamento (comprimento natural).
  • A velocidade é \dot x = \dfrac{dx}{dt} (positiva quando a massa desce).
  • Energia cinética: a expressão é sempre
T=\tfrac{1}{2}m\dot x^{2},
onde \dot x é a velocidade instantânea da massa.
  • Energia elástica da mola: quando a mola tem comprimento x o alongamento é (x-l), então
U_{\text{el}}=\tfrac{1}{2}k(x-l)^{2}.
  • Energia potencial gravitacional: com a escolha de x para baixo e tomando referência de potencial zero no ponto de fixação (teto), a altura em relação à referência é -x, então
U_{g}=mg(-x)=-mgx.
(Se preferir outra referência para U_g, muda só por uma constante.)

Passo 3

Escrever a energia mecânica total em termos de x e \dot x:
  • A energia mecânica total E (soma de energia cinética + energia elástica + energia gravitacional) é
E = T + U_{\text{el}} + U_{g}.
  • Substituindo as expressões:
E = \tfrac{1}{2}m\dot x^{2} \;+\; \tfrac{1}{2}k(x-l)^{2} \;-\; mgx.
Essa é uma forma válida e completa da energia mecânica, expressa diretamente na coordenada x (distância do teto).

Passo 4

Encontrar a posição de equilíbrio e simplificar a expressão: por que isso ajuda?
  • A posição de equilíbrio estática x_{\text{eq}} é onde as forças se equilibram: força elástica para cima igual ao peso para baixo. Em equílibrio:
k(x_{\text{eq}}-l)=mg \quad\Rightarrow\quad x_{\text{eq}}=l+\dfrac{mg}{k}.
  • Agora é muito prático trabalhar com a variável deslocamento em relação ao equilíbrio; defina
y(t)=x(t)-x_{\text{eq}}.
Assim y=0 corresponde ao ponto de equilíbrio. A velocidade satisfaz \dot y=\dot x.

Passo 5

Reescrever a energia em termos de y (isso mostra a forma harmônica e cancela termos lineares):
  • Primeiro expresse (x-l) em função de y:
x-l = \big(x_{\text{eq}}-l\big) + y = \dfrac{mg}{k} + y.
  • Substituir em U_{\text{el}}:
U_{\text{el}}=\tfrac{1}{2}k\Big(\dfrac{mg}{k}+y\Big)^{2} =\tfrac{1}{2}k\Big(\dfrac{m^{2}g^{2}}{k^{2}}+2\dfrac{mg}{k}y+y^{2}\Big) =\tfrac{m^{2}g^{2}}{2k}+mg\,y+\tfrac{1}{2}k y^{2}.
  • Substituir também U_{g}=-mgx=-mg(x_{\text{eq}}+y):
U_{g}=-mgx_{\text{eq}}-mg\,y.
  • Somando U_{\text{el}}+U_{g} os termos lineares em y se cancelam:
U_{\text{el}}+U_{g}=\left(\tfrac{m^{2}g^{2}}{2k}-mgx_{\text{eq}}\right) + \tfrac{1}{2}k y^{2}.
  • Note que \tfrac{m^{2}g^{2}}{2k}-mgx_{\text{eq}} é uma constante (independente de y e do tempo). Portanto a energia total fica
E = \tfrac{1}{2}m\dot y^{2} + \tfrac{1}{2}k y^{2} + \text{constante}.

Passo 6

Interpretação física e forma útil para problemas de movimento:
  • A expressão mostrada é a soma de uma energia cinética \tfrac{1}{2}m\dot y^{2} e de uma energia potencial efetiva \tfrac{1}{2}k y^{2} de tipo harmônico, mais uma constante que depende apenas dos parâmetros m,g,k,l e da escolha de referência.
  • Para a dinâmica (equação do movimento, amplitude, energia oscilante) essa constante não importa; assim é comum trabalhar com a energia relativa ao ponto de equilíbrio:
E_{\text{rel}}=\tfrac{1}{2}m\dot y^{2}+\tfrac{1}{2}k y^{2},
que é a energia mecânica conservada associada à oscilação simples com frequência natural \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Em resumo: a energia mecânica pode ser dada em duas formas equivalentes (uma completa em x e outra mais simples em y).

Resposta

E=\tfrac{1}{2}m\dot x^{2}+\tfrac{1}{2}k(x-l)^{2}-mgx
E_{\text{rel}}=\tfrac{1}{2}m\dot y^{2}+\tfrac{1}{2}k y^{2},\qquad y=x-\Big(l+\dfrac{mg}{k}\Big)

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