Considere um corpo de massa
pendurado no teto por uma mola, de comprimento
e constante elástica
, que oscila verticalmente.
Encontre a energia mecânica do sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um corpo de massa
está preso ao teto por uma mola de comprimento natural e constante elástica . - O corpo oscila na direção vertical (para baixo e para cima).
O que o problema pede: - Encontrar a energia mecânica do sistema (isto é, a expressão que combina energia cinética e energias potenciais relevantes).
Passo 2
Escolhas de coordenadas e convenções (muito importante para não se perder com sinais):
- Vamos medir a posição do corpo por
: distância vertical do ponto de fixação (teto) até a massa, tomando a direção para baixo como positiva. Assim significa que a mola está sem alongamento (comprimento natural). - A velocidade é
(positiva quando a massa desce). - Energia cinética: a expressão é sempre
onde
é a velocidade instantânea da massa.
- Energia elástica da mola: quando a mola tem comprimento
o alongamento é , então
- Energia potencial gravitacional: com a escolha de
para baixo e tomando referência de potencial zero no ponto de fixação (teto), a altura em relação à referência é , então
(Se preferir outra referência para
, muda só por uma constante.)
Passo 3
Escrever a energia mecânica total em termos de
e
:
- A energia mecânica total
(soma de energia cinética + energia elástica + energia gravitacional) é
- Substituindo as expressões:
Essa é uma forma válida e completa da energia mecânica, expressa diretamente na coordenada
(distância do teto).
Passo 4
Encontrar a posição de equilíbrio e simplificar a expressão: por que isso ajuda?
- A posição de equilíbrio estática
é onde as forças se equilibram: força elástica para cima igual ao peso para baixo. Em equílibrio:
- Agora é muito prático trabalhar com a variável deslocamento em relação ao equilíbrio; defina
Assim
corresponde ao ponto de equilíbrio. A velocidade satisfaz
.
Passo 5
Reescrever a energia em termos de
(isso mostra a forma harmônica e cancela termos lineares):
- Primeiro expresse
em função de :
- Substituir em
:
- Substituir também
:
- Somando
os termos lineares em se cancelam:
- Note que
é uma constante (independente de e do tempo). Portanto a energia total fica
Passo 6
Interpretação física e forma útil para problemas de movimento:
- A expressão mostrada é a soma de uma energia cinética
e de uma energia potencial efetiva de tipo harmônico, mais uma constante que depende apenas dos parâmetros e da escolha de referência. - Para a dinâmica (equação do movimento, amplitude, energia oscilante) essa constante não importa; assim é comum trabalhar com a energia relativa ao ponto de equilíbrio:
que é a energia mecânica conservada associada à oscilação simples com frequência natural
.
- Em resumo: a energia mecânica pode ser dada em duas formas equivalentes (uma completa em
e outra mais simples em ).