O pêndulo duplo consiste em dois fios diferentes, de comprimento l_{1} e l_{2}, com um amarrado ao teto, o outro amarrado na extremidade livre do primeiro, e um corpo de massa m preso na extremidade livre do segundo.
Calcule a energia mecânica do sistema em coordenadas polares.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que sabemos (informações dadas).
  • Pede: calcular a energia mecânica do sistema formado por dois fios (comprimentos l_{1} e l_{2}) em série, com um corpo de massa m preso na extremidade livre do segundo fio, usando coordenadas polares (ou seja, usando os ângulos como variáveis).
  • Dado: dois fios sem massa (assumiremos isso porque só é mencionada a massa m na extremidade), comprimentos l_{1} e l_{2}, massa m.
  • Resultado esperado: expressão da energia mecânica total E = T + V em função dos ângulos generalizados e suas velocidades (ou seja, \theta_{1},\theta_{2},\dot{\theta}_{1},\dot{\theta}_{2}), e dos parâmetros l_{1},l_{2},m,g.

Passo 2

Escolha das coordenadas e convenções (tudo bem definido para não se perder).
  • Vamos usar como coordenadas generalizadas os ângulos \theta_{1} e \theta_{2}.
    • \theta_{1} é o ângulo que o primeiro fio (o preso ao teto) faz com a vertical (ângulo positivo no sentido horário ou anti-horário; convém fixar um sentido — aqui não importa o sinal final, contaremos com derivadas).
    • \theta_{2} é o ângulo que o segundo fio (o preso à extremidade livre do primeiro) faz com a vertical.
  • Origem do referencial: o ponto de fixação do primeiro fio (teto). Eixo x horizontal, eixo y vertical apontando para cima.
  • Notação: derivada temporal de um ângulo será denotada por \dot{\theta}_i.

Passo 3

Posição do corpo em coordenadas cartesianas (expressar usando \theta_{1},\theta_{2}).
  • A posição (x,y) da massa m em função dos ângulos:
x = l_{1}\sin\theta_{1} + l_{2}\sin\theta_{2},
y = -\,l_{1}\cos\theta_{1} - l_{2}\cos\theta_{2}.
Explicação rápida: cada segmento contribui com uma projeção horizontal l\sin\theta e vertical -l\cos\theta (negativo porque y positivo é para cima e a massa fica abaixo do ponto de fixação).

Passo 4

Velocidade da massa: derivar (x,y) em relação ao tempo.
  • Derivando as componentes:
\dot{x} = l_{1}\cos\theta_{1}\,\dot{\theta}_{1} + l_{2}\cos\theta_{2}\,\dot{\theta}_{2},
\dot{y} = l_{1}\sin\theta_{1}\,\dot{\theta}_{1} + l_{2}\sin\theta_{2}\,\dot{\theta}_{2}.
Observação didática: usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\sin\theta = \cos\theta\,\dot{\theta} e \dfrac{d}{dt}(-\cos\theta)=\sin\theta\,\dot{\theta}.

Passo 5

Computar o quadrado da velocidade v^{2}=\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2} e simplificar.
  • Primeiro escrevemos a soma:
v^{2} = \bigl(l_{1}\cos\theta_{1}\,\dot{\theta}_{1} + l_{2}\cos\theta_{2}\,\dot{\theta}_{2}\bigr)^{2} +\bigl(l_{1}\sin\theta_{1}\,\dot{\theta}_{1} + l_{2}\sin\theta_{2}\,\dot{\theta}_{2}\bigr)^{2}.
  • Expandindo e reunindo termos semelhantes (note que \cos^{2}+\sin^{2}=1 e que aparecem produtos mistos):
v^{2}=l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2} +2\,l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\bigl(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\bigr).
  • Usando a identidade trigonométrica \cos(\theta_{1}-\theta_{2})=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}, obtemos a forma compacta:
v^{2}=l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2} +2\,l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}).
Comentário didático: esse termo cruzado 2l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}) aparece porque a velocidade da massa depende das duas rotações; é típico de sistemas com coordenadas acopladas.

Passo 6

Energia cinética T do corpo de massa m.
  • Definição: para uma partícula, T=\dfrac{1}{2}m v^{2}.
  • Substituindo v^{2} achado:
T=\dfrac{1}{2}m\Bigl(l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2} +2\,l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\Bigr).
Explicação: cada termo tem interpretação: os dois primeiros são energias cinéticas associadas aos movimentos induzidos por \dot{\theta}_1 e \dot{\theta}_2 separadamente; o terceiro é o termo de acoplamento entre as velocidades angulares.

Passo 7

Energia potencial V do corpo (energia gravitacional).
  • Usamos V=m g y com y dado no Passo 3. Assim:
V = m g\bigl(-\,l_{1}\cos\theta_{1} - l_{2}\cos\theta_{2}\bigr).
  • Podemos escrever de forma mais bonita:
V = -\,m g\bigl(l_{1}\cos\theta_{1} + l_{2}\cos\theta_{2}\bigr).
Comentário didático: escolhemos a referência de potencial tal que no ponto de fixação (origem) y=0 e uma posição abaixo tem V<0. A expressão é válida qualquer que seja a referência, só mudaria uma constante.

Passo 8

Energia mecânica total E=T+V: juntar os resultados e apresentar a expressão final.
  • Somando T (Passo 6) e V (Passo 7) chegamos à energia mecânica do sistema em coordenadas polares (ângulos):
E = \dfrac{1}{2}m\Bigl(l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2} +2\,l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\Bigr) - m g\bigl(l_{1}\cos\theta_{1} + l_{2}\cos\theta_{2}\bigr).
Breve interpretação final: essa é a energia conservada do pêndulo (na ausência de forças dissipativas). Repare que se \theta_{1}=\theta_{2} ou as velocidades tiverem sinais especiais, a expressão simplifica; o termo com \cos(\theta_{1}-\theta_{2}) é a assinatura do acoplamento das duas rotações.

Resposta

E = \dfrac{1}{2}m\Bigl(l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}+l_{2}^{2}\dot{\theta}_{2}^{2} +2\,l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})\Bigr) - m g\bigl(l_{1}\cos\theta_{1} + l_{2}\cos\theta_{2}\bigr).

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