O pêndulo duplo consiste em dois fios diferentes, de comprimento
e
, com um amarrado ao teto, o outro amarrado na extremidade livre do primeiro, e um corpo de massa
preso na extremidade livre do segundo.
Calcule a energia mecânica do sistema em coordenadas polares.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que sabemos (informações dadas).
- Pede: calcular a energia mecânica do sistema formado por dois fios (comprimentos
e ) em série, com um corpo de massa preso na extremidade livre do segundo fio, usando coordenadas polares (ou seja, usando os ângulos como variáveis). - Dado: dois fios sem massa (assumiremos isso porque só é mencionada a massa
na extremidade), comprimentos e , massa . - Resultado esperado: expressão da energia mecânica total
em função dos ângulos generalizados e suas velocidades (ou seja, ), e dos parâmetros .
Passo 2
Escolha das coordenadas e convenções (tudo bem definido para não se perder).
- Vamos usar como coordenadas generalizadas os ângulos
e . -
é o ângulo que o primeiro fio (o preso ao teto) faz com a vertical (ângulo positivo no sentido horário ou anti-horário; convém fixar um sentido — aqui não importa o sinal final, contaremos com derivadas). -
é o ângulo que o segundo fio (o preso à extremidade livre do primeiro) faz com a vertical.
-
- Origem do referencial: o ponto de fixação do primeiro fio (teto). Eixo
horizontal, eixo vertical apontando para cima. - Notação: derivada temporal de um ângulo será denotada por
.
Passo 3
Posição do corpo em coordenadas cartesianas (expressar usando
).
- A posição
da massa em função dos ângulos:
Explicação rápida: cada segmento contribui com uma projeção horizontal
e vertical
(negativo porque
positivo é para cima e a massa fica abaixo do ponto de fixação).
Passo 4
Velocidade da massa: derivar
em relação ao tempo.
- Derivando as componentes:
Observação didática: usamos a regra da cadeia:
e
.
Passo 5
Computar o quadrado da velocidade
e simplificar.
- Primeiro escrevemos a soma:
- Expandindo e reunindo termos semelhantes (note que
e que aparecem produtos mistos):
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma compacta:
Comentário didático: esse termo cruzado
aparece porque a velocidade da massa depende das duas rotações; é típico de sistemas com coordenadas acopladas.
Passo 6
Energia cinética
do corpo de massa
.
- Definição: para uma partícula,
. - Substituindo
achado:
Explicação: cada termo tem interpretação: os dois primeiros são energias cinéticas associadas aos movimentos induzidos por
e
separadamente; o terceiro é o termo de acoplamento entre as velocidades angulares.
Passo 7
Energia potencial
do corpo (energia gravitacional).
- Usamos
com dado no Passo 3. Assim:
- Podemos escrever de forma mais bonita:
Comentário didático: escolhemos a referência de potencial tal que no ponto de fixação (origem)
e uma posição abaixo tem
. A expressão é válida qualquer que seja a referência, só mudaria uma constante.
Passo 8
Energia mecânica total
: juntar os resultados e apresentar a expressão final.
- Somando
(Passo 6) e (Passo 7) chegamos à energia mecânica do sistema em coordenadas polares (ângulos):
Breve interpretação final: essa é a energia conservada do pêndulo (na ausência de forças dissipativas). Repare que se
ou as velocidades tiverem sinais especiais, a expressão simplifica; o termo com
é a assinatura do acoplamento das duas rotações.