Considere um corpo de massa
em queda vertical sob ação da gravidade
e de uma força de resistência do ar proporcional à velocidade
. O movimento é descrito pela EDO:
é a constante de resistência.
(a) Encontre a solução geral para a velocidade.
(b) Encontre a solução geral para a posição do corpo, com
.
(c) Determine a velocidade terminal, isto é, a velocidade quando
.
(d) Se
e o corpo é solto do repouso, encontre
.
(a) Encontre a solução geral para a velocidade.
(b) Encontre a solução geral para a posição do corpo, com
(c) Determine a velocidade terminal, isto é, a velocidade quando
(d) Se
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) a solução geral para a velocidade a partir da EDO
; - (b) a solução geral para a posição
com a condição ; - (c) a determinação da velocidade terminal (limite quando
); - (d) com
, e o corpo solto do repouso, encontrar .
Informações dadas que vamos usar:
Para a solução geral vamos introduzir a notação
(velocidade inicial). Para (b) temos
. Para (d) temos
,
,
. Não foi dado valor numérico para
, então, ao calcular um valor numérico em (d) vou usar a aceleração gravitacional padrão
(se precisar de outro valor, seria só substituir).
Passo 2
Primeiro deixamos a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
:
Isto é uma equação linear da forma
com
(constante) e
(constante). O método mais direto é o fator integrante (integrating factor). Definimos a constante
que tem dimensão de
e aparece naturalmente como taxa de decaimento exponencial.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando a equação original por
obtemos
O membro da esquerda é a derivada de um produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Como
e
são constantes,
pois
. Portanto
Dividindo por
vem
Para relacionar
com a velocidade inicial
colocamos
:
Assim a solução geral para a velocidade é
Passo 5
Pequena explicação didática sobre essa solução (útil pra prova): a solução é composta por duas partes:
- Uma parte constante
que é a solução particular (equilíbrio entre gravidade e resistência); - Uma parte transitória
que decai exponencialmente com constante de tempo . Após alguns tempos característicos a parte exponencial é quase zero e a velocidade aproxima-se da parte constante (a velocidade terminal).
Passo 6
Agora encontramos a posição
. Sabemos que
. Integrando
e usando
:
Substituindo
:
Integramos termo a termo. O primeiro termo dá
. O segundo termo:
Como
, obtemos
Esta é a solução geral para a posição em função de
.
Passo 7
Velocidade terminal (parte (c)). Tomamos o limite
na expressão de
. Como
quando
,
Interpretação física: a resistência do ar iguala exatamente o peso
, mantendo velocidade constante.
Passo 8
Parte (d): números dados
,
, solto do repouso
. Calculamos
e
. Usando a fórmula com
:
Para
:
Usando
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)