Considere um corpo de massa m em queda vertical sob ação da gravidade g e de uma força de resistência do ar proporcional à velocidade v(t). O movimento é descrito pela EDO:
m \frac{d v}{d t}=m g-k v
k>0 é a constante de resistência.
(a) Encontre a solução geral para a velocidade.
(b) Encontre a solução geral para a posição do corpo, com s(0)=s_{0}.
(c) Determine a velocidade terminal, isto é, a velocidade quando t \rightarrow \infty.
(d) Se m=2 \mathrm{~kg}, k=4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e o corpo é solto do repouso, encontre v(3).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  • (a) a solução geral para a velocidade a partir da EDO m\frac{dv}{dt}=mg-kv;
  • (b) a solução geral para a posição s(t) com a condição s(0)=s_{0};
  • (c) a determinação da velocidade terminal (limite quando t\to\infty);
  • (d) com m=2\\ \mathrm{kg}, k=4\\ \mathrm{kg/s} e o corpo solto do repouso, encontrar v(3).
Informações dadas que vamos usar:
m\frac{dv}{dt}=mg-kv,\qquad k>0.
Para a solução geral vamos introduzir a notação v(0)=v_{0} (velocidade inicial). Para (b) temos s(0)=s_{0}. Para (d) temos v_{0}=0, m=2, k=4. Não foi dado valor numérico para g, então, ao calcular um valor numérico em (d) vou usar a aceleração gravitacional padrão g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (se precisar de outro valor, seria só substituir).

Passo 2

Primeiro deixamos a EDO na forma padrão de equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por m:
\frac{dv}{dt}+\frac{k}{m}v=g.
Isto é uma equação linear da forma \frac{dv}{dt}+p(t)v=q(t) com p(t)=\frac{k}{m} (constante) e q(t)=g (constante). O método mais direto é o fator integrante (integrating factor). Definimos a constante
\alpha=\frac{k}{m},
que tem dimensão de 1/\text{s} e aparece naturalmente como taxa de decaimento exponencial.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(t):
\mu(t)=e^{\int \alpha\,dt}=e^{\alpha t}=e^{(k/m)t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{\alpha t}\frac{dv}{dt}+\alpha e^{\alpha t}v = g e^{\alpha t}.
O membro da esquerda é a derivada de um produto:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{\alpha t} v\bigr)=g e^{\alpha t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{\alpha t} v(t) = \int g e^{\alpha t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Como g e \alpha são constantes,
\int g e^{\alpha t}\,dt = g\cdot\frac{1}{\alpha} e^{\alpha t} = \frac{mg}{k} e^{\alpha t},
pois \frac{1}{\alpha}=\frac{m}{k}. Portanto
e^{\alpha t} v(t) = \frac{mg}{k} e^{\alpha t} + C.
Dividindo por e^{\alpha t} vem
v(t)=\frac{mg}{k} + C e^{-\alpha t}.
Para relacionar C com a velocidade inicial v_{0}=v(0) colocamos t=0:
v_{0}=\frac{mg}{k}+C \quad\Rightarrow\quad C=v_{0}-\frac{mg}{k}.
Assim a solução geral para a velocidade é
\boxed{v(t)=\frac{mg}{k}+\left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)e^{-(k/m)t}.}

Passo 5

Pequena explicação didática sobre essa solução (útil pra prova): a solução é composta por duas partes:
  • Uma parte constante \displaystyle \frac{mg}{k} que é a solução particular (equilíbrio entre gravidade e resistência);
  • Uma parte transitória \displaystyle \left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)e^{-(k/m)t} que decai exponencialmente com constante de tempo \tau=\frac{m}{k}. Após alguns tempos característicos \tau a parte exponencial é quase zero e a velocidade aproxima-se da parte constante (a velocidade terminal).

Passo 6

Agora encontramos a posição s(t). Sabemos que v(t)=\frac{ds}{dt}. Integrando v(t) e usando s(0)=s_{0}:
s(t)=s_{0}+\int_{0}^{t} v(u)\,du.
Substituindo v(u):
s(t)=s_{0}+\int_{0}^{t}\left[\frac{mg}{k}+\left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)e^{-(k/m)u}\right]du.
Integramos termo a termo. O primeiro termo dá \frac{mg}{k}t. O segundo termo:
\int_{0}^{t}\left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)e^{-(k/m)u}du = \left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)\cdot\frac{1-e^{-(k/m)t}}{k/m}.
Como \frac{1}{k/m}=\frac{m}{k}, obtemos
\boxed{\,s(t)=s_{0}+\frac{mg}{k}\,t+\frac{m}{k}\left(v_{0}-\frac{mg}{k}\right)\left(1-e^{-(k/m)t}\right).\,}
Esta é a solução geral para a posição em função de t.

Passo 7

Velocidade terminal (parte (c)). Tomamos o limite t\to\infty na expressão de v(t). Como e^{-(k/m)t}\to 0 quando t\to\infty,
\boxed{\lim_{t\to\infty}v(t)=\frac{mg}{k}.}
Interpretação física: a resistência do ar iguala exatamente o peso mg, mantendo velocidade constante.

Passo 8

Parte (d): números dados m=2\\ \mathrm{kg}, k=4\\ \mathrm{kg/s}, solto do repouso \Rightarrow v_{0}=0. Calculamos \alpha=k/m=4/2=2\\ \mathrm{s^{-1}} e V_{\text{term}}=\frac{mg}{k}=\frac{2g}{4}=\frac{g}{2}. Usando a fórmula com v_{0}=0:
v(t)=\frac{g}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr).
Para t=3:
v(3)=\frac{g}{2}\bigl(1-e^{-6}\bigr).
Usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
v(3)=4{,}9\bigl(1-e^{-6}\bigr)\approx 4{,}9\cdot 0{,}997521248\approx 4{,}887\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) v(t)=\dfrac{mg}{k}+\displaystyle\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-(k/m)t}.
(b) s(t)=s_{0}+\dfrac{mg}{k}\,t+\dfrac{m}{k}\displaystyle\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)\left(1-e^{-(k/m)t}\right).
(c) \displaystyle v_{\text{terminal}}=\frac{mg}{k}.
(d) \displaystyle v(3)=\frac{g}{2}\bigl(1-e^{-6}\bigr)\approx 4{,}887\\ \mathrm{m/s}.

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