Um corpo inicialmente a 20^{\circ} é colocado em um ambiente a 40^{\circ}. A taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente, ou seja,
\frac{d T}{d t}(t)=k\left(T(t)-T_{a}\right)
onde t é tempo em minutos, k é uma constante, T_{a} é a temperatura ambiente em graus Celsius e T(t) é a temperatura corpo no instante t em graus Celsius.
(a) Encontre a solução geral para encontrar T(t).
(b) Se após 10 minutos a temperatura é 30^{\circ}, determine a constante de resfriamento k.
(c) Encontre o tempo para que o corpo atinja 35^{\circ} com k igual ao item anterior.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo pra ficar claro):
  • Equação diferencial que relaciona a taxa de variação da temperatura:
\frac{dT}{dt}(t)=k\bigl(T(t)-T_{a}\bigr).
  • Tempo t em minutos.
  • k é uma constante (a determinar).
  • Temperatura ambiente: T_{a}=40^{\circ}.
  • Temperatura inicial do corpo: T(0)=20^{\circ}.
  • Depois de 10 minutos a temperatura do corpo é T(10)=30^{\circ}.
    As perguntas:
    (a) Encontre a solução geral T(t) da equação diferencial.
    (b) Use T(10)=30^{\circ} para determinar a constante k.
    (c) Usando o k do item (b), determine o tempo necessário para que T(t)=35^{\circ}.

Passo 2

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (é um ODE de primeira ordem linear simples). Primeiro escrevemos a equação:
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_{a}\bigr).
Trate T como função de t e separe as variáveis movendo o fator em T para o lado esquerdo:
\frac{dT}{T-T_{a}}=k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Aqui uso a primitiva de 1/(T-T_a), que é o logaritmo natural (lembrando da constante de integração). Assim:
\int \frac{dT}{T-T_{a}}=\int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln\bigl|T-T_{a}\bigr|=kt+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 3

A partir de \ln|T-T_a|=kt+C exponenciamos para isolar T:
\bigl|T-T_{a}\bigr|=e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}.
Como e^{C} é uma constante positiva arbitrária, chamamos C' = \pm e^{C} (para absorver sinal) e obtemos a forma mais conveniente:
T(t)-T_{a}=C' e^{kt}.
Portanto a solução geral é
T(t)=T_{a}+C' e^{kt},
onde C' é uma constante determinada pela condição inicial. Agora aplicamos T(0)=20^{\circ} e T_a=40^{\circ} para achar C':
T(0)=40+C' e^{k\cdot 0}=40+C' =20 \quad\Rightarrow\quad C'=20-40=-20.
Substituindo em T(t) obtemos a solução particular:
T(t)=40-20\,e^{kt}.
(Aqui expliquei cada passo: separei variáveis, integrei, tratei da constante e apliquei a condição inicial.)

Passo 4

Agora usamos a condição extra T(10)=30^{\circ} para encontrar k. Substituindo t=10 em
T(t)=40-20\,e^{kt},
temos
30=40-20\,e^{10k}.
Isolando o termo exponencial:
30-40=-20\,e^{10k}\quad\Rightarrow\quad -10=-20\,e^{10k}.
Dividindo por -20:
\frac{1}{2}=e^{10k}.
Agora aplicamos o logaritmo natural para isolar k:
10k=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2 \quad\Rightarrow\quad k=-\frac{\ln 2}{10}.
É útil também dar a forma numérica (aproximação): usando \ln 2\approx 0,693147,
k\approx -\frac{0,693147}{10}=-0,0693147\\ \text{min}^{-1}\approx -0,0693\\ \text{min}^{-1}.
Comentário físico curto: k saiu negativo porque a diferença T-T_a é negativa inicialmente (o corpo está mais frio que o ambiente) e a equação dada tem essa convenção; o sinal negativo indica que T(t) cresce em direção a T_a=40^{\circ}.

Passo 5

Verificação do comportamento: com k<0 e C'=-20 em
T(t)=40-20\,e^{kt},
como e^{kt}\to 0 quando t\to\infty (já que k<0), T(t)\to 40^{\circ} — faz sentido físico: a temperatura do corpo tende à do ambiente.

Passo 6

Agora determinamos o tempo t para que T(t)=35^{\circ}. Partimos de
35=40-20\,e^{kt}.
Isolando o exponencial:
35-40=-20\,e^{kt}\quad\Rightarrow\quad -5=-20\,e^{kt}.
Dividindo por -20:
\frac{1}{4}=e^{kt}.
Tome logaritmo natural:
kt=\ln\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=-\ln 4 = -2\ln 2.
Então
t=\frac{-2\ln 2}{k}.
Substitua k=-\dfrac{\ln 2}{10} (do Passo 4):
t=\frac{-2\ln 2}{ -\dfrac{\ln 2}{10}}= \frac{-2\ln 2}{-1}\cdot\frac{10}{\ln 2}=2\cdot 10=20.
Portanto o tempo é t=20 minutos. Note como os \ln 2 cancelaram deixando um número inteiro — sempre bom quando dá conta de cabeça!

Resposta

(a) T(t)=40-20\,e^{kt}.
(b) k=-\dfrac{\ln 2}{10}\approx -0,0693\\ \text{min}^{-1}.
(c) t=20\\ \text{min}.

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