Um corpo inicialmente a 20^{\circ} é colocado em um ambiente a 40^{\circ}. A taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente, ou seja,
\frac{d T}{d t}(t)=k\left(T(t)-T_{a}\right)
onde t é tempo em minutos, k é uma constante, T_{a} é a temperatura ambiente em graus Celsius e T(t) é a temperatura corpo no instante t em graus Celsius.
(a) Encontre a solução geral para encontrar T(t).
(b) Se após 10 minutos a temperatura é 30^{\circ}, determine a constante de resfriamento k.
(c) Encontre o tempo para que o corpo atinja 35^{\circ} com k igual ao item anterior.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo pra ficar claro):
Equação diferencial que relaciona a taxa de variação da temperatura:
\frac{dT}{dt}(t)=k\bigl(T(t)-T_{a}\bigr).
Tempo t em minutos.
k é uma constante (a determinar).
Temperatura ambiente: T_{a}=40^{\circ}.
Temperatura inicial do corpo: T(0)=20^{\circ}.
Depois de 10 minutos a temperatura do corpo é T(10)=30^{\circ}.
As perguntas:
(a) Encontre a solução geral T(t) da equação diferencial.
(b) Use T(10)=30^{\circ} para determinar a constante k.
(c) Usando o k do item (b), determine o tempo necessário para que T(t)=35^{\circ}.
Passo 2
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis (é um ODE de primeira ordem linear simples). Primeiro escrevemos a equação:
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_{a}\bigr).
Trate T como função de t e separe as variáveis movendo o fator em T para o lado esquerdo:
\frac{dT}{T-T_{a}}=k\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Aqui uso a primitiva de 1/(T-T_a), que é o logaritmo natural (lembrando da constante de integração). Assim:
Comentário físico curto: k saiu negativo porque a diferença T-T_a é negativa inicialmente (o corpo está mais frio que o ambiente) e a equação dada tem essa convenção; o sinal negativo indica que T(t) cresce em direção a T_a=40^{\circ}.
Passo 5
Verificação do comportamento: com k<0 e C'=-20 em
T(t)=40-20\,e^{kt},
como e^{kt}\to 0 quando t\to\infty (já que k<0), T(t)\to 40^{\circ} — faz sentido físico: a temperatura do corpo tende à do ambiente.
Passo 6
Agora determinamos o tempo t para que T(t)=35^{\circ}. Partimos de