Um corpo inicialmente a
é colocado em um ambiente a
. A taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente, ou seja,
onde
é tempo em minutos,
é uma constante,
é a temperatura ambiente em graus Celsius e
é a temperatura corpo no instante
em graus Celsius.
(a) Encontre a solução geral para encontrar
.
(b) Se após 10 minutos a temperatura é
, determine a constante de resfriamento
.
(c) Encontre o tempo para que o corpo atinja
com
igual ao item anterior.
(a) Encontre a solução geral para encontrar
(b) Se após 10 minutos a temperatura é
(c) Encontre o tempo para que o corpo atinja
Passo 1
Dados e o que o enunciado pede:
- O enunciado fornece a equação diferencial
onde
está em minutos,
é uma constante (a ser determinada),
é a temperatura ambiente e
é a temperatura do corpo no instante
.
- Valores numéricos dados: temperatura inicial
e temperatura ambiente . - Perguntas:
(a) Encontrar a solução geralda equação diferencial.
(b) Usando que, determinar a constante .
(c) Com o valor dedo item (b), encontrar o tempo tal que .
Passo 2
Entendendo a equação e transformação útil (explicação didática):
- A equação descreve que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. Intuitivamente, se
a temperatura diminui, se aumenta. - Uma transformação simples que facilita a solução é definir a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente:
- Diferenciando, obtemos
Substituindo na equação original, temos a equação para
:
Esta é uma equação diferencial comum e simples: a taxa de variação de
é proporcional a
mesma.
Passo 3
Resolver a equação para
(método e interpretação passo a passo):
- A equação
é separável. Isso significa que podemos escrever
- Integramos ambos os lados:
- As integrais dão
onde
é constante de integração.
- Exponenciando ambos os lados, obtemos
onde
é uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa conforme a condição inicial).
- Voltando à variável original
,
Isto é a solução geral da equação diferencial: uma temperatura que tende para
quando
se
, ou que afasta-se se
.
Passo 4
Aplicar a condição inicial para obter a constante
:
- Usamos
e . Substituindo em
obtemos
- Logo
- Portanto a solução particular (com a condição inicial) é
Passo 5
Determinar
usando
(item b), passo a passo:
- Substituímos
e na solução particular:
- Subtraindo
dos dois lados:
- Isolando o exponencial:
- Aplicando logaritmo natural:
- Logo
- Observação:
é negativo, portanto é negativo — isto faz sentido fisicamente porque a temperatura do corpo está caindo em direção à temperatura ambiente. - Valor numérico aproximado:
Passo 6
Encontrar o tempo para
usando o
obtido (item c), passo a passo:
- Partimos da solução particular
e impomos
:
- Subtraindo
:
- Isolando o exponencial:
- Tomando logaritmo natural:
- Portanto
- Substituindo o valor numérico de
(que é negativo), obtemos um tempo positivo. Usando ,
- Interpretação: leva cerca de
minutos para a temperatura cair de até com o encontrado.
Resposta
(a)
. Com a condição inicial
e
:
\n(b)
\n(c)