Um corpo inicialmente a 90^{\circ} é colocado em um ambiente a 20^{\circ}. A taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente, ou seja,
\frac{d T}{d t}(t)=k\left(T(t)-T_{a}\right),
onde t é tempo em minutos, k é uma constante, T_{a} é a temperatura ambiente em graus Celsius e T(t) é a temperatura corpo no instante t em graus Celsius.
(a) Encontre a solução geral para encontrar T(t).
(b) Se após 10 minutos a temperatura é 60^{\circ}, determine a constante de resfriamento k.
(c) Encontre o tempo para que o corpo atinja 30^{\circ} com k igual ao item anterior.

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede:
  • O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{dT}{dt}(t)=k\bigl(T(t)-T_{a}\bigr),
onde t está em minutos, k é uma constante (a ser determinada), T_{a} é a temperatura ambiente e T(t) é a temperatura do corpo no instante t.
  • Valores numéricos dados: temperatura inicial T(0)=90^\circ e temperatura ambiente T_{a}=20^\circ.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar a solução geral T(t) da equação diferencial.
    (b) Usando que T(10)=60^\circ, determinar a constante k.
    (c) Com o valor de k do item (b), encontrar o tempo t tal que T(t)=30^\circ.

Passo 2

Entendendo a equação e transformação útil (explicação didática):
  • A equação descreve que a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a do ambiente. Intuitivamente, se T(t)>T_{a} a temperatura diminui, se T(t)<T_{a} aumenta.
  • Uma transformação simples que facilita a solução é definir a diferença entre a temperatura do corpo e a ambiente:
u(t)=T(t)-T_{a}.
  • Diferenciando, obtemos
\frac{du}{dt}=\frac{dT}{dt}-0=\frac{dT}{dt}.
Substituindo na equação original, temos a equação para u:
\frac{du}{dt}=k\,u.
Esta é uma equação diferencial comum e simples: a taxa de variação de u é proporcional a u mesma.

Passo 3

Resolver a equação para u(t) (método e interpretação passo a passo):
  • A equação \dfrac{du}{dt}=k\,u é separável. Isso significa que podemos escrever
\frac{1}{u}\,du=k\,dt.
  • Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{u}\,du=\int k\,dt.
  • As integrais dão
\ln|u|=k t + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  • Exponenciando ambos os lados, obtemos
u(t)=C\,e^{k t},
onde C=\pm e^{C_1} é uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa conforme a condição inicial).
  • Voltando à variável original T,
T(t)=T_{a}+u(t)=T_{a}+C\,e^{k t}.
Isto é a solução geral da equação diferencial: uma temperatura que tende para T_{a} quando t\to\infty se k<0, ou que afasta-se se k>0.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para obter a constante C:
  • Usamos T(0)=90^\circ e T_{a}=20^\circ. Substituindo em
T(0)=T_{a}+C\,e^{k\cdot 0}=T_{a}+C,
obtemos
90=20+C.
  • Logo
C=90-20=70.
  • Portanto a solução particular (com a condição inicial) é
T(t)=20+70\,e^{k t}.

Passo 5

Determinar k usando T(10)=60^\circ (item b), passo a passo:
  • Substituímos t=10 e T(10)=60 na solução particular:
60=20+70\,e^{10k}.
  • Subtraindo 20 dos dois lados:
40=70\,e^{10k}.
  • Isolando o exponencial:
e^{10k}=\frac{40}{70}=\frac{4}{7}.
  • Aplicando logaritmo natural:
10k=\ln\!\left(\frac{4}{7}\right).
  • Logo
k=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{4}{7}\right).
  • Observação: \ln\!\left(\tfrac{4}{7}\right) é negativo, portanto k é negativo — isto faz sentido fisicamente porque a temperatura do corpo está caindo em direção à temperatura ambiente.
  • Valor numérico aproximado:
k\approx\frac{1}{10}\cdot(-0{,}559615)= -0{,}0559615\\ \text{(min}^{-1}\text{)}.

Passo 6

Encontrar o tempo para T(t)=30^\circ usando o k obtido (item c), passo a passo:
  • Partimos da solução particular
T(t)=20+70\,e^{k t}
e impomos T(t)=30:
30=20+70\,e^{k t}.
  • Subtraindo 20:
10=70\,e^{k t}.
  • Isolando o exponencial:
e^{k t}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}.
  • Tomando logaritmo natural:
k t=\ln\!\left(\frac{1}{7}\right)=-\ln 7.
  • Portanto
t=\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{7}\right)}{k}.
  • Substituindo o valor numérico de k (que é negativo), obtemos um tempo positivo. Usando k\approx -0{,}0559615,
t\approx\frac{-1{,}945910}{-0{,}0559615}\approx 34{,}78\\ \text{minutos}.
  • Interpretação: leva cerca de \,34{,}8 minutos para a temperatura cair de 90^\circ até 30^\circ com o k encontrado.

Resposta

(a) \displaystyle T(t)=T_{a}+C\,e^{k t}. Com a condição inicial T(0)=90^\circ e T_{a}=20^\circ: \displaystyle T(t)=20+70\,e^{k t}.\n(b) \displaystyle k=\frac{1}{10}\ln\!\left(\frac{4}{7}\right)\approx-0{,}0559615\\ \text{min}^{-1}.\n(c) \displaystyle t=\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{7}\right)}{k}\approx 34{,}78\\ \text{minutos}.

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