Um tanque inicialmente contém 1000 L de água pura. Uma solução contendo sal a
entra no tanque a uma taxa de
, e a mistura é mantida homogênea e retirada também a
.
a) Modele o problema por uma EDO.
b) Resolva a equação diferencial para determinar a quantidade de sal no tanque em função do tempo
.
c) Calcule a quantidade de sal no tanque após 30 minutos.
a) Modele o problema por uma EDO.
b) Resolva a equação diferencial para determinar a quantidade de sal no tanque em função do tempo
c) Calcule a quantidade de sal no tanque após 30 minutos.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as perguntas abaixo.
Dados:
- O tanque contém inicialmente
de água pura. - Entra no tanque uma solução com concentração
à vazão . - A mistura é homogênea e sai do tanque à mesma vazão
. - Como a vazão de entrada é igual à de saída, o volume no tanque permanece constante em
. - A condição inicial é que no instante
não há sal no tanque (água pura).
Perguntas:
(a) Modelar o problema por uma EDO (isto é, escrever a equação diferencial que governa a massa de sal).
(b) Resolver a EDO para obter a quantidade de sal no tanque em função do tempo .
(c) Calcular a quantidade de sal após minutos.
(a) Modelar o problema por uma EDO (isto é, escrever a equação diferencial que governa a massa de sal).
(b) Resolver a EDO para obter a quantidade de sal no tanque em função do tempo
(c) Calcular a quantidade de sal após
Passo 2
Definição de variável e razão de variação (modelagem).
- Seja
a massa de sal no tanque no instante , medida em quilogramas (kg). Então . - A concentração da solução que entra é
, e a vazão de entrada é . Portanto a taxa de entrada de sal (massa por tempo) é
- A concentração da mistura no tanque, em
, é porque há kg de sal em L no total. A vazão de saída é . Portanto a taxa de saída de sal é
- A variação da massa de sal é entrada menos saída, então a EDO que modela o problema é
com condição inicial
Passo 3
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem.
- A EDO é linear e de coeficientes constantes na forma
- Método: fator integrante. Calcular o fator integrante
definido por .
- Multiplicando a EDO pelo fator integrante obtemos
- O lado esquerdo é a derivada do produto
. Assim
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- Calcule a integral. Como
, tem-se
Portanto
- Isolando
,
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar a constante e interpretar a solução.
- Usar
:
- Assim a solução particular com a condição inicial é
- Interpretação física rápida: quando
, e , que é o equilíbrio (taxa de entrada igual à de saída).
Passo 5
Calcular a quantidade de sal após
minutos.
- Substituir
em :
- Avaliando numericamente
, obtemos
- Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
Resposta
(a)
(b)
(c)