Um tanque inicialmente contém 1000 L de água pura. Uma solução contendo sal a 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{L} entra no tanque a uma taxa de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, e a mistura é mantida homogênea e retirada também a 10 \mathrm{~L} / \mathrm{min}.
a) Modele o problema por uma EDO.
b) Resolva a equação diferencial para determinar a quantidade de sal no tanque em função do tempo t.
c) Calcule a quantidade de sal no tanque após 30 minutos.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as perguntas abaixo.
Dados:
  • O tanque contém inicialmente 1000\\ \mathrm{L} de água pura.
  • Entra no tanque uma solução com concentração 1\\ \mathrm{kg/L} à vazão 10\\ \mathrm{L/min}.
  • A mistura é homogênea e sai do tanque à mesma vazão 10\\ \mathrm{L/min}.
  • Como a vazão de entrada é igual à de saída, o volume no tanque permanece constante em 1000\\ \mathrm{L}.
  • A condição inicial é que no instante t=0 não há sal no tanque (água pura).
Perguntas:
(a) Modelar o problema por uma EDO (isto é, escrever a equação diferencial que governa a massa de sal).
(b) Resolver a EDO para obter a quantidade de sal no tanque em função do tempo t.
(c) Calcular a quantidade de sal após 30 minutos.

Passo 2

Definição de variável e razão de variação (modelagem).
  • Seja S(t) a massa de sal no tanque no instante t, medida em quilogramas (kg). Então S(0)=0.
  • A concentração da solução que entra é 1\\ \mathrm{kg/L}, e a vazão de entrada é 10\\ \mathrm{L/min}. Portanto a taxa de entrada de sal (massa por tempo) é
\text{taxa de entrada} = 1\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{L}}\times 10\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}} = 10\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}}.
  • A concentração da mistura no tanque, em \mathrm{kg/L}, é \dfrac{S(t)}{1000} porque há S(t) kg de sal em 1000 L no total. A vazão de saída é 10\\ \mathrm{L/min}. Portanto a taxa de saída de sal é
\text{taxa de saída} = \frac{S(t)}{1000}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{L}}\times 10\\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}} = \frac{10\,S(t)}{1000}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}} = \frac{S(t)}{100}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}}.í
  • A variação da massa de sal é entrada menos saída, então a EDO que modela o problema é
\frac{dS}{dt}=10-\frac{S}{100},
com condição inicial
S(0)=0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem.
  • A EDO é linear e de coeficientes constantes na forma
\frac{dS}{dt} + \frac{1}{100}S = 10.
  • Método: fator integrante. Calcular o fator integrante \mu(t) definido por \mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{100}\,dt\right).
\mu(t)=e^{t/100}.
  • Multiplicando a EDO pelo fator integrante obtemos
e^{t/100}\frac{dS}{dt} + \frac{1}{100}e^{t/100}S = 10e^{t/100}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto e^{t/100}S. Assim
\frac{d}{dt}\!\left(e^{t/100}S\right)=10e^{t/100}.
  • Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t/100}S(t)=\int 10e^{t/100}\,dt + C.
  • Calcule a integral. Como \int e^{t/100}\,dt = 100 e^{t/100}, tem-se
\int 10e^{t/100}\,dt = 10\cdot 100 e^{t/100} = 1000 e^{t/100}.
Portanto
e^{t/100}S(t)=1000 e^{t/100} + C.
  • Isolando S(t),
S(t)=1000 + C e^{-t/100}.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante e interpretar a solução.
  • Usar S(0)=0:
0 = S(0) = 1000 + C e^{0} = 1000 + C \quad\Rightarrow\quad C = -1000.
  • Assim a solução particular com a condição inicial é
S(t)=1000\left(1-e^{-t/100}\right).
  • Interpretação física rápida: quando t\to\infty, e^{-t/100}\to 0 e S(t)\to 1000\\ \mathrm{kg}, que é o equilíbrio (taxa de entrada igual à de saída).

Passo 5

Calcular a quantidade de sal após 30 minutos.
  • Substituir t=30 em S(t):
S(30)=1000\left(1-e^{-30/100}\right)=1000\left(1-e^{-0,3}\right).
  • Avaliando numericamente e^{-0,3}\approx 0{,}740818, obtemos
S(30)\approx 1000\left(1-0{,}740818\right)\approx 259{,}182\\ \mathrm{kg}.
  • Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
S(30)\approx 259{,}18\\ \mathrm{kg}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dS}{dt}=10-\frac{S}{100},\quad S(0)=0
(b) \displaystyle S(t)=1000\left(1-e^{-t/100}\right)
(c) \displaystyle S(30)\approx 259{,}18\\ \mathrm{kg}

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