Um elemento radioativo tem meia-vida de 10 anos.
a) Escreva a EDO que modela a quantidade de material Q(t) em função do tempo.
b) Determine a constante de decaimento k.
c) Se inicialmente há 10 g do elemento, quanto restará após 20 anos?

Passo 1

O enunciado dá que a meia-vida do elemento radioativo é \,10\, anos. As perguntas são:
a) escrever a EDO que modela a quantidade de material \,Q(t) em função do tempo;
b) determinar a constante de decaimento k dessa EDO;
c) sabendo que inicialmente há \,10\\ \text{g} do elemento, calcular quanto restará após \,20\, anos.
Informações relevantes fornecidas:
  • Meia-vida: \,T_{1/2}=10\\ \text{anos}.
  • Condição inicial para a parte (c): \,Q(0)=10\\ \text{g}.

Passo 2

Formular a EDO. A ideia física: a taxa de variação da quantidade de material é proporcional à quantidade presente — quanto mais material, mais desintegração por unidade de tempo. Isso leva à EDO de crescimento/decrescimento exponencial do tipo
\frac{dQ}{dt}=k\,Q(t),
onde:
  • \,Q(t) é a quantidade (em gramas) no tempo \,t (em anos);
  • \,k é a constante de taxa (em \text{ano}^{-1}). Para decaimento radioativo espera-se \,k<0.
Essa é a resposta da parte (a): a EDO é \displaystyle \frac{dQ}{dt}=k\,Q(t).

Passo 3

Resolver a EDO de forma geral (método de separação de variáveis). Começamos escrevendo
\frac{dQ}{dt}=kQ.
Separando variáveis e integrando:
\frac{dQ}{Q}=k\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{dQ}{Q}=\int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|Q|=k t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
Q(t)=C_1 e^{k t},
com C_1=e^{C}. Usando a condição inicial geral Q(0)=Q_0 temos C_1=Q_0, logo a solução geral é
Q(t)=Q_0\,e^{k t},
onde \,Q_0 é a quantidade inicial.

Passo 4

Determinar k a partir da meia-vida. Por definição, a meia-vida T_{1/2} é o tempo necessário para que a quantidade se reduza à metade, ou seja
Q(T_{1/2})=\frac{Q_0}{2}.
Substituindo a solução \,Q(t)=Q_0 e^{k t} em t=T_{1/2}:
Q_0 e^{k T_{1/2}}=\frac{Q_0}{2}.
Dividindo por Q_0 e resolvendo:
e^{k T_{1/2}}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad k T_{1/2}=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Portanto
k=-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Substituindo T_{1/2}=10 anos:
k=-\frac{\ln 2}{10}\approx -0{,}0693147\\ \text{ano}^{-1}.
Arredondando sensato para a prova, pode-se usar \,k\approx -0{,}0693\\ \text{ano}^{-1}.

Passo 5

Calcular a quantidade após \,20\, anos com Q_0=10\\ \text{g}. A solução com a condição inicial é
Q(t)=Q_0 e^{k t}=10\,e^{k t}.
Usando k=-\dfrac{\ln 2}{10} e t=20:
Q(20)=10\,\exp\!\left(-\frac{\ln 2}{10}\cdot 20\right) =10\,\exp\!\left(-2\ln 2\right).
Usando a propriedade \exp(a\ln b)=b^{a}:
Q(20)=10\cdot 2^{-2}=10\cdot\frac{1}{4}=2{,}5\\ \text{g}.
Observação rápida e intuitiva: em \,10\, anos a massa cai de 10 g para 5 g (metade); em mais 10 anos (total 20 anos) cai para metade novamente, ou seja 2{,}5 g — consistente com o cálculo.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dQ}{dt}=k\,Q(t)
b) \displaystyle k=-\frac{\ln 2}{10}\approx -0{,}0693\\ \text{ano}^{-1}
c) \displaystyle Q(20)=2{,}5\\ \text{g}

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