Um elemento radioativo tem meia-vida de 10 anos.
a) Escreva a EDO que modela a quantidade de material
em função do tempo.
b) Determine a constante de decaimento
.
c) Se inicialmente há 10 g do elemento, quanto restará após 20 anos?
a) Escreva a EDO que modela a quantidade de material
b) Determine a constante de decaimento
c) Se inicialmente há 10 g do elemento, quanto restará após 20 anos?
Passo 1
O enunciado dá que a meia-vida do elemento radioativo é
anos. As perguntas são:
a) escrever a EDO que modela a quantidade de material em função do tempo;
b) determinar a constante de decaimento dessa EDO;
c) sabendo que inicialmente há do elemento, calcular quanto restará após
anos.
a) escrever a EDO que modela a quantidade de material
b) determinar a constante de decaimento
c) sabendo que inicialmente há
Informações relevantes fornecidas:
- Meia-vida:
. - Condição inicial para a parte (c):
.
Passo 2
Formular a EDO. A ideia física: a taxa de variação da quantidade de material é proporcional à quantidade presente — quanto mais material, mais desintegração por unidade de tempo. Isso leva à EDO de crescimento/decrescimento exponencial do tipo
onde:
-
é a quantidade (em gramas) no tempo (em anos); -
é a constante de taxa (em ). Para decaimento radioativo espera-se .
Essa é a resposta da parte (a): a EDO é
.
Passo 3
Resolver a EDO de forma geral (método de separação de variáveis). Começamos escrevendo
Separando variáveis e integrando:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
com
. Usando a condição inicial geral
temos
, logo a solução geral é
onde
é a quantidade inicial.
Passo 4
Determinar
a partir da meia-vida. Por definição, a meia-vida
é o tempo necessário para que a quantidade se reduza à metade, ou seja
Substituindo a solução
em
:
Dividindo por
e resolvendo:
Portanto
Substituindo
anos:
Arredondando sensato para a prova, pode-se usar
.
Passo 5
Calcular a quantidade após
anos com
. A solução com a condição inicial é
Usando
e
:
Usando a propriedade
:
Observação rápida e intuitiva: em
anos a massa cai de
g para
g (metade); em mais
anos (total
anos) cai para metade novamente, ou seja
g — consistente com o cálculo.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)