Considere um corpo de prova cilíndrico de alguma liga metálica hipotética que possui um diâmetro de 10,0 \mathrm{mm}(0,39 \mathrm{in}). Uma força de tração de 1500 \mathrm{~N}(340 \mathrm{lbf}) produz uma redução elástica, no diâmetro, de 6,7 \times 10^{-4} \mathrm{mm}\left(2,64 \times 10^{5} \mathrm{in}\right). Calcule o módulo de elasticidade para essa liga, dado que o coeficiente de Poisson é 0,35 .

Passo 1

O enunciado dá um corpo de prova cilíndrico de diâmetro d=10{,}0\\ \mathrm{mm} sujeito a uma força de tração F=1500\\ \mathrm{N}. Observa-se redução elástica no diâmetro de magnitude \Delta d=-6,7\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}. O coeficiente de Poisson é \nu=0,35. Precisamos usar as definições de tensão, deformação axial e lateral e a relação de elasticidade isotrópica para encontrar o módulo de Young E.

Passo 2

Calcular a tensão axial média \sigma. A seção transversal é
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (10{,}0\\ \mathrm{mm})^2}{4} = 25\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Logo,
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{1500\\ \mathrm{N}}{25\pi\\ \mathrm{mm}^2} \approx 19{,}10\\ \mathrm{N/mm}^2.

Passo 3

Calcular a deformação lateral (transversal) \varepsilon_{\mathrm{lat}}. Por definição,
\varepsilon_{\mathrm{lat}} = \frac{\Delta d}{d} = \frac{-6{,}7\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}}{10{,}0\\ \mathrm{mm}} = -6{,}7\times10^{-5}.

Passo 4

Usar a relação entre deformações e Poisson:
\varepsilon_{\mathrm{lat}} = -\nu\,\varepsilon_{\mathrm{ax}},
e como \varepsilon_{\mathrm{ax}} = \sigma/E, temos
-\varepsilon_{\mathrm{lat}} = \nu\,\frac{\sigma}{E} \quad\Longrightarrow\quad E = \nu\,\frac{\sigma}{-\varepsilon_{\mathrm{lat}}}.
Substituindo valores:
E = 0,35 \times \frac{19{,}10\\ \mathrm{N/mm}^2}{6{,}7\times10^{-5}} \approx 9{,}98\times10^{4}\\ \mathrm{N/mm}^2.

Resposta

O módulo de elasticidade da liga é aproximadamente
E \approx 1,00\times10^{5}\\ \mathrm{N/mm}^2 \quad(\approx 100\\ \mathrm{GPa}).

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