Considere a curva que é a borda do triângulo com vértices em e , orientacla no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha:
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde é a borda do triângulo com vértices , e orientada no sentido anti-horário. Como é uma curva fechada em , vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região interior ao triângulo.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais que aparecem em Green:
Logo o rotacional é
Passo 3
Pelo Teorema de Green,
Passo 4
Para calcular usamos que, para um triângulo de área e centróide , vale
integral duplaDx,dA = A,overline x, integral duplaDy,dA = A,overline y,
então
integral duplaD(x+y),dA = A(overline x+overline y)
Passo 5
O triângulo tem vértices (0,0), (1,2) e (3,-4). Sua área é