Considere a curva C que é a borda do triângulo com vértices em (0,0),(1,2) e (3,-4), orientacla no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha:
ointC(cos (raiz[3]x^2+5)+y^2+y-2) d x+(x-x^2-e^y^2-1 / y) d y

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
ointCP,dx+Q,dy
onde C é a borda do triângulo com vértices (0,0), (1,2) e (3,-4) orientada no sentido anti-horário. Como C é uma curva fechada em R^2, vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre a região D interior ao triângulo.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=cosl(raiz[3]x^2+5r)+y^2+y-2, Q(x,y)=x - x^2 - e^,y^2-1/y
Calculamos as derivadas parciais que aparecem em Green:
partial Qpartial x =1-2x, partial Ppartial y =2y+1
Logo o rotacional é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(1-2x)-(2y+1)=-2x-2y=-2(x+y)

Passo 3

Pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partialx Q-partialy Pr),dA =integral duplaD-2(x+y),dA =-2integral duplaD(x+y),dA

Passo 4

Para calcular integral duplaD(x+y),dA usamos que, para um triângulo de área A e centróide (overline x,overline y), vale
integral duplaDx,dA = A,overline x, integral duplaDy,dA = A,overline y,
então
integral duplaD(x+y),dA = A(overline x+overline y)

Passo 5

O triângulo tem vértices (0,0), (1,2) e (3,-4). Sua área é
A=12l|det1&32&-4r| =12|1cdot(-4)-2cdot3|=12cdot10=5
O centróide é
(overline x,overline y) =l(0+1+33,,0+2-43r) =l(43,,-23r)
Logo
integral duplaD(x+y),dA =5l(43-23r) =5cdot23 =103
Substituindo em Green:
ointCP,dx+Q,dy =-2cdot103 =-203

Resposta

-tfrac203

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